Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
f(x)=\frac{1-2 x}{x+3}

Passo 1

O enunciado nos pede a derivada de f(x)=\frac{1-2x}{x+3} usando a definição de derivada como limite do quociente incremental, e também que encontremos os domínios de f e de f'. O conteúdo principal é a definição
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de f. Como há uma divisão por x+3, devemos ter x+3\neq0. Logo o domínio de f é
\mathbb{R}\setminus\{-3\}.
Em seguida escrevemos o quociente incremental:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{\displaystyle\frac{1-2(x+h)}{(x+h)+3}-\frac{1-2x}{x+3}}{h}.

Passo 3

Para simplificar esse quociente, vamos combinar as frações do numerador:
\frac{1-2(x+h)}{x+3+h}-\frac{1-2x}{x+3} =\frac{(1-2x-2h)(x+3)-(1-2x)(x+3+h)}{(x+3+h)(x+3)}.
Expandindo e simplificando:
(1-2x-2h)(x+3)-(1-2x)(x+3+h)=-7\,h.
Então
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{-7\,h}{h\,(x+3+h)(x+3)} =-\frac{7}{(x+3+h)(x+3)}.
Fazendo h\to0, obtemos
f'(x)=-\frac{7}{(x+3)^2}.

Passo 4

O denominador de f'(x) é (x+3)^2, que se anula em x=-3. Logo o domínio de f' também é
\mathbb{R}\setminus\{-3\}.

Resposta

A derivada é
f'(x)=-\frac{7}{(x+3)^2}.
Domínio de f: \mathbb{R}\setminus\{-3\}.
Domínio de f': \mathbb{R}\setminus\{-3\}.

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