• Questão 3. Considere o campo vetorial dado por \vec{F}=(2 x+z) \vec{i}+2 y \vec{j}+x y \vec{k}.
    (1.0pt) Seja S_{1} a superfície determinada pela face y=0 do cubo unitário de faces x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1. Seja C a curva segmentada, no bordo de S_{1}, que une os pontos P_{1}(0,0,0), P_{2}(1,0,0), P_{3}(1,0,1), P_{4}(0,0,1) e de volta a P_{1}, nesta ordem. Calcule o trabalho \iint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
\oint_{C}\vec{F} \cdot d\vec{r}
onde \vec{F}=(2x+z)\,\vec{i}+2y\,\vec{j}+xy\,\vec{k} e C é o contorno da face y=0 do cubo unitário, i.e.\ o quadrado em xz de 0\le x\le1, 0\le z\le1.

Passo 2

Na face y=0 temos
\vec{F}=(2x+z,\,0,\,0)
e
d\vec{r}=(dx,\,0,\,dz),
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\vec{F}\cdot d\vec{r}=(2x+z)\,dx.

Passo 3

O contorno C tem quatro arestas, mas nas duas verticais x=\text{const} vale dx=0, então nessas arestas a integral é zero. Restam as duas horizontais em z=0 e z=1.

Passo 4

Para a aresta em z=0, de x=0 a x=1:
\int_{0}^{1}(2x+0)\,dx =\int_{0}^{1}2x\,dx =\bigl[x^2\bigr]_{0}^{1} =1.

Passo 5

Para a aresta em z=1, de x=1 a x=0:
\int_{1}^{0}(2x+1)\,dx =-\int_{0}^{1}(2x+1)\,dx =-\bigl[x^2+x\bigr]_{0}^{1} =-(1+1) =-2.

Passo 6

Somando as contribuições não nulas:
1+(-2)=-1.

Resposta

-1

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