(3,0 pt) Calcule as derivadas:
(a) f(x)=4 x^{3}-6 x+5

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função f dada por
f(x)=4x^{3}-6x+5.
Informações fornecidas: os coeficientes dos termos são 4, -6 e 5; as potências de x aparecem como x^{3}, x^{1} e x^{0}. A tarefa única é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Definição de derivada (fórmula que traduz o que estamos calculando).
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Explicando com calma: f'(x) é a taxa de variação instantânea de f em x. O símbolo h representa um pequeno incremento em x. No quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} temos a variação média de f quando x varia de x para x+h; ao fazer h\to0 obtemos a variação instantânea.

Passo 3

Regras úteis que vamos usar (sem precisar aplicar a definição por limite em todos os termos):
  • Derivada de uma constante: se c é constante então
\frac{d}{dx}c=0.
Isto porque c não muda quando x muda.
  • Linearidade (soma e fator constante): se g(x) e h(x) são funções e a é constante então
\frac{d}{dx}\bigl(g(x)+h(x)\bigr)=g'(x)+h'(x), \qquad \frac{d}{dx}\bigl(a\cdot g(x)\bigr)=a\cdot g'(x).
Isto permite derivar termo a termo.
  • Regra da potência (caso básico): para n inteiro positivo,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e a fórmula diz que a derivada de x^{n} é n vezes x elevado a n-1.

Passo 4

Pequena justificativa da regra da potência para n=3 (exemplo concreto, mostra de onde vem a regra sem muita formalidade).
Usando a definição pela diferença incremental para g(x)=x^{3}:
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}.
Expandindo (x+h)^{3} (binômio de Newton):
(x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3}.
Substituindo e simplificando:
\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}=\frac{3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3}}{h}=3x^{2}+3x h+h^{2}.
Agora fazemos h\to0 e os termos com h desaparecem:
\lim_{h\to0}\bigl(3x^{2}+3x h+h^{2}\bigr)=3x^{2}.
Logo \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}, que é coerente com a regra da potência.

Passo 5

Aplicação das regras termo a termo na função f(x)=4x^{3}-6x+5.
  • Primeiro termo: 4x^{3}.
    Usando a regra do fator constante e a regra da potência:
\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}\bigr)=4\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=4\cdot(3x^{2})=12x^{2}.
  • Segundo termo: -6x.
    Aqui x é x^{1} e \dfrac{d}{dx}x=1, então
\frac{d}{dx}\bigl(-6x\bigr)=-6\cdot\frac{d}{dx}x=-6\cdot 1=-6.
  • Terceiro termo: 5 (constante).
    Pela regra da constante,
\frac{d}{dx}5=0.

Passo 6

Juntando os resultados de cada termo (linearidade):
f'(x)=12x^{2}-6+0,
que simplifica para
f'(x)=12x^{2}-6.
Comentário final curto: essa derivada vale para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

f'(x)=12x^{2}-6

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