(3,0 pt) Calcule as derivadas:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
dada por
Informações fornecidas: os coeficientes dos termos são
,
e
; as potências de
aparecem como
,
e
. A tarefa única é encontrar
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Definição de derivada (fórmula que traduz o que estamos calculando).
Explicando com calma:
é a taxa de variação instantânea de
em
. O símbolo
representa um pequeno incremento em
. No quociente
temos a variação média de
quando
varia de
para
; ao fazer
obtemos a variação instantânea.
Passo 3
Regras úteis que vamos usar (sem precisar aplicar a definição por limite em todos os termos):
- Derivada de uma constante: se
é constante então
Isto porque
não muda quando
muda.
- Linearidade (soma e fator constante): se
e são funções e é constante então
Isto permite derivar termo a termo.
- Regra da potência (caso básico): para
inteiro positivo,
Aqui
é o expoente e a fórmula diz que a derivada de
é
vezes
elevado a
.
Passo 4
Pequena justificativa da regra da potência para
(exemplo concreto, mostra de onde vem a regra sem muita formalidade).
Usando a definição pela diferença incremental para :
Usando a definição pela diferença incremental para
Expandindo
(binômio de Newton):
Substituindo e simplificando:
Agora fazemos
e os termos com
desaparecem:
Logo
, que é coerente com a regra da potência.
Passo 5
Aplicação das regras termo a termo na função
.
- Primeiro termo:
.
Usando a regra do fator constante e a regra da potência:
- Segundo termo:
.
Aquié e , então
- Terceiro termo:
(constante).
Pela regra da constante,
Passo 6
Juntando os resultados de cada termo (linearidade):
que simplifica para
Comentário final curto: essa derivada vale para todo
.