(3,0 pt) Calcule as derivadas:
(b) g(x)=\ln \left(1+x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função g e pede sua derivada. Informações fornecidas:
  • A função é g(x)=\ln\!\bigl(1+x^{2}\bigr).
  • Como 1+x^{2}>0 para todo x\in\mathbb{R}, a função está definida em todos os reais.
    A tarefa: calcular g'(x) para x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia para derivar uma composição de funções. Explicando calmamente: se uma função é composta, isto é, se
h(x)=f\bigl(u(x)\bigr),
então a derivada de h é dada por
h'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a função interior e f(t) é a função exterior (escrevi t como variável da função exterior só para ficar claro). A ideia é derivar a função exterior avaliando-a na interior e multiplicar pela derivada da interior. Não é um bicho de sete cabeças: é só “deriva a de fora, multiplica pela derivada de dentro”.

Passo 3

Identificamos as partes da composição em g(x)=\ln\!\bigl(1+x^{2}\bigr):
  • Função exterior f(t)=\ln t (sendo t>0).
  • Função interior u(x)=1+x^{2}.
Agora a derivada da função exterior f é bem conhecida: para t>0,
f'(t)=\frac{1}{t}.
Explanação curta: a derivada de \ln t é 1/t porque a função logarítmica cresce mais devagar quanto maior for t — a forma exata vem do limite que define derivada, mas aqui basta lembrar a regra padrão.

Passo 4

Calculamos a derivada da função interior u(x)=1+x^{2}. Usamos a regra do poder (power rule): para x^{n},
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aplicando ao termo x^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
A constante 1 tem derivada 0. Logo
u'(x)=2x.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia combinando os resultados: como g(x)=f\bigl(u(x)\bigr) com f'(t)=1/t e u'(x)=2x, temos
g'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=\frac{1}{\,u(x)\,}\cdot 2x=\frac{2x}{1+x^{2}}.
Essa expressão vale para todo x\in\mathbb{R} porque 1+x^{2}>0 sempre. Observações rápidas que te ajudam na prova: g'(0)=0 e g'(1)=1; também g'(x)>0 para x>0 e g'(x)<0 para x<0, ou seja, g é crescente em x>0 e decrescente em x<0.

Resposta

g'(x)=\dfrac{2x}{1+x^{2}}

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