(3,0 pt) Calcule as derivadas:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede sua derivada. Informações fornecidas:
- A função é
. - Como
para todo , a função está definida em todos os reais.
A tarefa: calcularpara .
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia para derivar uma composição de funções. Explicando calmamente: se uma função é composta, isto é, se
então a derivada de
é dada por
Aqui
é a função interior e
é a função exterior (escrevi
como variável da função exterior só para ficar claro). A ideia é derivar a função exterior avaliando-a na interior e multiplicar pela derivada da interior. Não é um bicho de sete cabeças: é só “deriva a de fora, multiplica pela derivada de dentro”.
Passo 3
Identificamos as partes da composição em
:
- Função exterior
(sendo ). - Função interior
.
Agora a derivada da função exterior
é bem conhecida: para
,
Explanação curta: a derivada de
é
porque a função logarítmica cresce mais devagar quanto maior for
— a forma exata vem do limite que define derivada, mas aqui basta lembrar a regra padrão.
Passo 4
Calculamos a derivada da função interior
. Usamos a regra do poder (power rule): para
,
Aplicando ao termo
:
A constante
tem derivada
. Logo
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia combinando os resultados: como
com
e
, temos
Essa expressão vale para todo
porque
sempre. Observações rápidas que te ajudam na prova:
e
; também
para
e
para
, ou seja,
é crescente em
e decrescente em
.