Determine os limites laterais e o limite total, se existir:
lim x 1^+ x-1|x-1| e lim x 1^- x-1|x-1|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os limites laterais e o limite total da função x-1|x-1| quando x se aproxima de 1 pela direita ( 1^+) e pela esquerda ( 1^-). Para isso, vamos precisar entender o que é limite lateral e como funciona o valor absoluto na função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite lateral. O limite lateral à direita, lim x 1^+, considera valores de x que estão um pouquinho maiores que 1. Já o limite lateral à esquerda, lim x 1^-, considera valores de x que estão um pouquinho menores que 1.

Passo 3

Agora, vamos entender o valor absoluto na expressão |x-1|. O valor absoluto sempre dá um resultado positivo ou zero, independente do sinal dentro. Então:
  • Se x > 1, então x - 1 é positivo, e |x - 1| = x - 1.
  • Se x < 1, então x - 1 é negativo, e |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x.

Passo 4

Vamos calcular o limite lateral à direita: lim x 1^+ x-1|x-1|.
Como x está se aproximando de 1 pela direita ( x > 1), temos |x - 1| = x - 1. Então:
x - 1|x - 1| = x - 1x - 1 = 1
Portanto, lim x 1^+ x-1|x-1| = 1.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite lateral à esquerda: lim x 1^- x-1|x-1|.
Aqui, x está se aproximando de 1 pela esquerda ( x < 1), então |x - 1| = 1 - x. Assim:
x - 1|x - 1| = x - 11 - x = -1
Então, lim x 1^- x-1|x-1| = -1.

Passo 6

Para determinar o limite total lim x 1 x-1|x-1|, precisamos verificar se os limites laterais são iguais.
Aqui, vimos que:
lim x 1^+ x-1|x-1| = 1 e lim x 1^- x-1|x-1| = -1
Como os limites laterais são diferentes, o limite total não existe.

Resposta

lim x 1^+ x-1|x-1| = 1, lim x 1^- x-1|x-1| = -1 e o limite total não existe ã

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