Determine os limites
a.)
a.)
Passo 1
O enunciado pede o limite lateral
Informações dadas/observações imediatas:
-
e . - Substituindo
no numerador e denominador obtém-se a forma , ou seja, uma indeterminação do tipo .
Passo 2
Método escolhido e por que: vou usar a Regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta direta para tratar indeterminações do tipo
quando as funções são diferenciáveis. Depois mostro também uma via alternativa com séries de Taylor para dar intuição e prática de cálculo sem derivadas repetidas.
Explicando a Regra de L’Hôpital (de forma simples): se
e
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), então, se existir
tem-se
É possível aplicar a regra repetidas vezes se a forma permanecer
.
Passo 3
Aplicando L’Hôpital pela primeira vez. Defino
As derivadas são
Pela Regra de L’Hôpital,
Agora verifico o novo quociente: quando
tem-se
e
. Ainda temos a forma
, então podemos aplicar L’Hôpital novamente.
Passo 4
Aplicando L’Hôpital pela segunda vez. Derivo novamente:
Logo, pela Regra de L’Hôpital,
Agora avalio o limite direto: quando
,
Portanto o quociente tende a
Concluo que
Passo 5
Método alternativo (séries de Taylor) — explicação didática e checagem: apresentar a expansão de baixo grau para entender o comportamento assintótico.
Expansões conhecidas em torno de
:
Subtraindo:
Agrupando termos e cancelando
e
:
O termo dominante para pequeno
é
. Então
Essa via confirma o resultado obtido com L’Hôpital e dá intuição: o denominador é de ordem
enquanto o numerador é de ordem
, logo a razão tende a
.
Passo 6
Comentário final e incentivo: o resultado é
. Usar L’Hôpital duas vezes foi uma forma curta e segura; observar as ordens via séries dá boa intuição (denominador
, numerador
). Excelente prática para prova: quando ver
, tente primeiro simplificações óbvias; se nada for simples, L’Hôpital ou expansão de Taylor são suas melhores amigas. Força nos estudos — você consegue!
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