Determine os limites
a.) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{3}}{\operatorname{sen}(x)-e^{x}+1}

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{x^{3}}{\operatorname{sen}(x)-e^{x}+1}.
Informações dadas/observações imediatas:
  • \operatorname{sen}(0)=0 e e^{0}=1.
  • Substituindo x=0 no numerador e denominador obtém-se a forma \dfrac{0}{0}, ou seja, uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 2

Método escolhido e por que: vou usar a Regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta direta para tratar indeterminações do tipo 0/0 quando as funções são diferenciáveis. Depois mostro também uma via alternativa com séries de Taylor para dar intuição e prática de cálculo sem derivadas repetidas.
Explicando a Regra de L’Hôpital (de forma simples): se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 e f,g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), então, se existir
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
tem-se
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
É possível aplicar a regra repetidas vezes se a forma permanecer 0/0.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital pela primeira vez. Defino
f(x)=x^{3},\qquad g(x)=\operatorname{sen}(x)-e^{x}+1.
As derivadas são
f'(x)=3x^{2}, \qquad g'(x)=\cos(x)-e^{x}.
Pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x^{3}}{\operatorname{sen}(x)-e^{x}+1} = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{3x^{2}}{\cos(x)-e^{x}}.
Agora verifico o novo quociente: quando x\to 0 tem-se 3x^{2}\to 0 e \cos(0)-e^{0}=1-1=0. Ainda temos a forma 0/0, então podemos aplicar L’Hôpital novamente.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital pela segunda vez. Derivo novamente:
\bigl(3x^{2}\bigr)'=6x, \qquad \bigl(\cos(x)-e^{x}\bigr)'=-\sin(x)-e^{x}.
Logo, pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{3x^{2}}{\cos(x)-e^{x}} = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{6x}{-\sin(x)-e^{x}}.
Agora avalio o limite direto: quando x\to 0,
6x\to 0, \qquad -\sin(x)-e^{x}\to -0-1=-1.
Portanto o quociente tende a
\frac{0}{-1}=0.
Concluo que
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x^{3}}{\operatorname{sen}(x)-e^{x}+1}=0.

Passo 5

Método alternativo (séries de Taylor) — explicação didática e checagem: apresentar a expansão de baixo grau para entender o comportamento assintótico.
Expansões conhecidas em torno de 0:
\operatorname{sen}(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3}), \qquad e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3}).
Subtraindo:
\operatorname{sen}(x)-e^{x}+1 = \Bigl(x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})\Bigr) - \Bigl(1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})\Bigr) +1.
Agrupando termos e cancelando 1 e x:
\operatorname{sen}(x)-e^{x}+1 = -\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3}).
O termo dominante para pequeno x é -\dfrac{x^{2}}{2}. Então
\frac{x^{3}}{\operatorname{sen}(x)-e^{x}+1} =\frac{x^{3}}{-\dfrac{x^{2}}{2}\bigl(1+\tfrac{2}{3}x+o(x)\bigr)} = \frac{x}{-\tfrac{1}{2}\bigl(1+o(1)\bigr)} \to 0 \quad\text{quando }x\to 0^{+}.
Essa via confirma o resultado obtido com L’Hôpital e dá intuição: o denominador é de ordem x^{2} enquanto o numerador é de ordem x^{3}, logo a razão tende a 0.

Passo 6

Comentário final e incentivo: o resultado é 0. Usar L’Hôpital duas vezes foi uma forma curta e segura; observar as ordens via séries dá boa intuição (denominador \sim -\tfrac{1}{2}x^{2}, numerador \sim x^{3}). Excelente prática para prova: quando ver 0/0, tente primeiro simplificações óbvias; se nada for simples, L’Hôpital ou expansão de Taylor são suas melhores amigas. Força nos estudos — você consegue!

Resposta

0

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