Determine os limites:
(b) \lim _{t \rightarrow 0}\left(\frac{a^{t}-b^{t}}{t},(1+t)^{5 / t}, \frac{t}{\sin (2 t)}\right), em que a, b>0.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule três limites quando t \to 0:
\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{a^{t}-b^{t}}{t}, com a,b>0.
\displaystyle \lim_{t\to 0}(1+t)^{5/t}.
\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{t}{\sin(2t)}.
Informações dadas: a>0 e b>0. Essas são todas as informações necessárias.
Passo 2
Ferramentas e ideias que vou usar (explicadas de forma didática):
Para qualquer número positivo c vale c^{t}=e^{t\ln c}. Aqui \ln c é o logaritmo natural de c.
Expansão primeira ordem (taylor linear) de e^{x} em x=0: e^{x}=1+x+o(x)\quad\text{quando }x\to0, onde o(x) significa "termo que dividido por x tende a 0". Isso é equivalente a dizer \lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1-x}{x}=0.
Limite conhecido: \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1. Isso pode ser visto pela expansão \ln(1+u)=u+o(u) ou por regra de L’Hôpital.
A função exponencial é contínua: se x_n\to L então e^{x_n}\to e^{L}. Vou reescrever potências como exponenciais e usar continuidade e as expansões acima.
Passo 3
Cálculo do primeiro limite \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{a^{t}-b^{t}}{t}.
Escrevo a^{t}=e^{t\ln a} e b^{t}=e^{t\ln b}. Usando a expansão de e^{x} em ordem 1 com x=t\ln a e x=t\ln b:
Observação alternativa: isso equivale a usar \lim_{u\to0}\bigl(1+u\bigr)^{1/u}=e com u=t e potência 5.
Passo 6
Um pequeno reforço didático: a igualdade \lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1 é a chave aqui; se preferir provar por L’Hôpital: \lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=\lim_{t\to0}\frac{1/(1+t)}{1}=1.
Passo 7
Cálculo do terceiro limite \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{t}{\sin(2t)}.
Uso a mudança de variável ou a identidade padrão. Escrevo
Como \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1, substituindo u=2t obtemos \displaystyle \lim_{t\to0}\frac{\sin(2t)}{2t}=1, então \displaystyle \lim_{t\to0}\frac{2t}{\sin(2t)}=1. Portanto
\lim_{t\to0}\frac{t}{\sin(2t)}=\frac{1}{2}.
Passo 8
Resumo rápido (sem cálculos extra): os três limites foram reduzidos a limites padrão usando reescritas exponencial/logarítmica e o limite trigonométrico fundamental.