Determine os limites:
(b) \lim _{t \rightarrow 0}\left(\frac{a^{t}-b^{t}}{t},(1+t)^{5 / t}, \frac{t}{\sin (2 t)}\right), em que a, b>0.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule três limites quando t \to 0:
  • \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{a^{t}-b^{t}}{t}, com a,b>0.
  • \displaystyle \lim_{t\to 0}(1+t)^{5/t}.
  • \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{t}{\sin(2t)}.
Informações dadas: a>0 e b>0. Essas são todas as informações necessárias.

Passo 2

Ferramentas e ideias que vou usar (explicadas de forma didática):
  • Para qualquer número positivo c vale c^{t}=e^{t\ln c}. Aqui \ln c é o logaritmo natural de c.
  • Expansão primeira ordem (taylor linear) de e^{x} em x=0: e^{x}=1+x+o(x)\quad\text{quando }x\to0, onde o(x) significa "termo que dividido por x tende a 0". Isso é equivalente a dizer \lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1-x}{x}=0.
  • Limite conhecido: \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1. Isso pode ser visto pela expansão \ln(1+u)=u+o(u) ou por regra de L’Hôpital.
  • Limite conhecido: \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.
  • A função exponencial é contínua: se x_n\to L então e^{x_n}\to e^{L}. Vou reescrever potências como exponenciais e usar continuidade e as expansões acima.

Passo 3

Cálculo do primeiro limite \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{a^{t}-b^{t}}{t}.
Escrevo a^{t}=e^{t\ln a} e b^{t}=e^{t\ln b}. Usando a expansão de e^{x} em ordem 1 com x=t\ln a e x=t\ln b:
e^{t\ln a}=1+t\ln a+o(t),\qquad e^{t\ln b}=1+t\ln b+o(t)\quad(t\to0).
Subtraindo e dividindo por t:
\frac{a^{t}-b^{t}}{t}=\frac{\bigl(1+t\ln a+o(t)\bigr)-\bigl(1+t\ln b+o(t)\bigr)}{t} =\ln a-\ln b+\frac{o(t)-o(t)}{t}.
Como \frac{o(t)}{t}\to0, o termo residual some, ficando
\lim_{t\to0}\frac{a^{t}-b^{t}}{t}=\ln a-\ln b=\ln\!\left(\frac{a}{b}\right).
Comentário curto e prático: é como diferenciar c^{t} em t=0; \frac{d}{dt}c^{t}\big|_{t=0}=\ln c, então a diferença dá a diferença dos logaritmos.

Passo 4

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se a=e e b=1, então \ln a-\ln b=1-0=1. De fato \frac{e^{t}-1^{t}}{t}=\frac{e^{t}-1}{t}\to1.

Passo 5

Cálculo do segundo limite \displaystyle \lim_{t\to 0}(1+t)^{5/t}.
Reescrevo usando exponencial:
(1+t)^{5/t}=\exp\!\biggl(\frac{5}{t}\ln(1+t)\biggr).
Estudo o expoente \dfrac{5}{t}\ln(1+t). Como \ln(1+t)=t+o(t) quando t\to0, tem-se
\frac{5}{t}\ln(1+t)=5\cdot\frac{\ln(1+t)}{t}\to5\cdot 1=5.
Pelo fato de a exponencial ser contínua,
\lim_{t\to0}(1+t)^{5/t}=\exp(5)=e^{5}.
Observação alternativa: isso equivale a usar \lim_{u\to0}\bigl(1+u\bigr)^{1/u}=e com u=t e potência 5.

Passo 6

Um pequeno reforço didático: a igualdade \lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1 é a chave aqui; se preferir provar por L’Hôpital: \lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=\lim_{t\to0}\frac{1/(1+t)}{1}=1.

Passo 7

Cálculo do terceiro limite \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{t}{\sin(2t)}.
Uso a mudança de variável ou a identidade padrão. Escrevo
\frac{t}{\sin(2t)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2t}{\sin(2t)}.
Como \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1, substituindo u=2t obtemos \displaystyle \lim_{t\to0}\frac{\sin(2t)}{2t}=1, então \displaystyle \lim_{t\to0}\frac{2t}{\sin(2t)}=1. Portanto
\lim_{t\to0}\frac{t}{\sin(2t)}=\frac{1}{2}.

Passo 8

Resumo rápido (sem cálculos extra): os três limites foram reduzidos a limites padrão usando reescritas exponencial/logarítmica e o limite trigonométrico fundamental.

Resposta

\displaystyle \ln\!\left(\frac{a}{b}\right)
\displaystyle e^{5}
\displaystyle \tfrac{1}{2}

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