Sendo dadas
e
, determine:
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado dá as funções vetoriais
e pede para calcular
Vou listar claramente o que temos:
- As componentes de
são - As componentes de
são
O objetivo é obter a derivada temporal do produto escalar, que é uma função escalar de.
Passo 2
Regra que vamos usar (e por que ela vale): se
e
, então
Derivando termo a termo (regra do produto para funções escalares) obtemos
Reagrupando os termos, isso é exatamente
Resumo simples: a derivada do produto escalar é a soma dos produtos escalares entre a derivada de um e o outro não derivado (e vice‑versa). Essa é a regra que vamos aplicar — é a versão vetorial da regra do produto.
Passo 3
Calcular as derivadas componentes:
Passo 4
Agora calculamos os dois produtos escalares que aparecem na regra:
Primeiro,
Primeiro,
Usando a identidade trigonométrica
obtemos
Segundo,
Aplicando novamente
(note o sinal negativo) fica
Passo 5
Somando os dois resultados conforme a regra:
Fatorando
e
se desejar: