Sendo dadas \vec{r}(t)=\left(e^{t},-\cos t, \sin t\right) e \vec{s}(t)=\left(t^{2}, \sin t, \cos t\right), determine:
(b) \frac{d}{d t}(\vec{r}(t) \cdot \vec{s}(t)).

Passo 1

O enunciado dá as funções vetoriais
\vec{r}(t)=\bigl(e^{t},\,-\cos t,\,\sin t\bigr), \qquad \vec{s}(t)=\bigl(t^{2},\,\sin t,\,\cos t\bigr)
e pede para calcular
\frac{d}{dt}\bigl(\vec{r}(t)\cdot\vec{s}(t)\bigr).
Vou listar claramente o que temos:
  • As componentes de \vec{r}(t) são \;r_1(t)=e^{t},\;r_2(t)=-\cos t,\;r_3(t)=\sin t.
  • As componentes de \vec{s}(t) são \;s_1(t)=t^{2},\;s_2(t)=\sin t,\;s_3(t)=\cos t.
    O objetivo é obter a derivada temporal do produto escalar, que é uma função escalar de t.

Passo 2

Regra que vamos usar (e por que ela vale): se \vec{r}(t)=(r_1,r_2,r_3) e \vec{s}(t)=(s_1,s_2,s_3), então
\vec{r}(t)\cdot\vec{s}(t)=r_1(t)s_1(t)+r_2(t)s_2(t)+r_3(t)s_3(t).
Derivando termo a termo (regra do produto para funções escalares) obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(\vec{r}\cdot\vec{s}\bigr) = r_1' s_1 + r_1 s_1' + r_2' s_2 + r_2 s_2' + r_3' s_3 + r_3 s_3'.
Reagrupando os termos, isso é exatamente
\frac{d}{dt}\bigl(\vec{r}\cdot\vec{s}\bigr)=\vec{r}\,'\cdot\vec{s}+\vec{r}\cdot\vec{s}\,'.
Resumo simples: a derivada do produto escalar é a soma dos produtos escalares entre a derivada de um e o outro não derivado (e vice‑versa). Essa é a regra que vamos aplicar — é a versão vetorial da regra do produto.

Passo 3

Calcular as derivadas componentes:
\vec{r}\,'(t)=\bigl((e^{t})',\,(-\cos t)',\,(\sin t)'\bigr) =\bigl(e^{t},\,\sin t,\,\cos t\bigr).
\vec{s}\,'(t)=\bigl((t^{2})',\,(\sin t)',\,(\cos t)'\bigr) =\bigl(2t,\,\cos t,\,-\sin t\bigr).

Passo 4

Agora calculamos os dois produtos escalares que aparecem na regra:
Primeiro,
\vec{r}\,'(t)\cdot\vec{s}(t) = e^{t}\cdot t^{2} + \sin t\cdot\sin t + \cos t\cdot\cos t = t^{2}e^{t} + \sin^{2}t + \cos^{2}t.
Usando a identidade trigonométrica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1 obtemos
\vec{r}\,'(t)\cdot\vec{s}(t)=t^{2}e^{t}+1.
Segundo,
\vec{r}(t)\cdot\vec{s}\,'(t) = e^{t}\cdot 2t + (-\cos t)\cdot\cos t + \sin t\cdot(-\sin t) = 2t e^{t} -\cos^{2}t -\sin^{2}t.
Aplicando novamente \cos^{2}t+\sin^{2}t=1 (note o sinal negativo) fica
\vec{r}(t)\cdot\vec{s}\,'(t)=2t e^{t}-1.

Passo 5

Somando os dois resultados conforme a regra:
\frac{d}{dt}\bigl(\vec{r}\cdot\vec{s}\bigr) = \bigl(t^{2}e^{t}+1\bigr) + \bigl(2t e^{t}-1\bigr) = t^{2}e^{t}+2t e^{t}.
Fatorando e^{t} e t se desejar:
\frac{d}{dt}\bigl(\vec{r}\cdot\vec{s}\bigr)=e^{t}(t^{2}+2t)=t(t+2)e^{t}.

Resposta

\frac{d}{dt}\bigl(\vec{r}(t)\cdot\vec{s}(t)\bigr)=e^{t}(t^{2}+2t)

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