e pede: obter a curvatura do círculo de raio a após reparametrização.
Informações relevantes fornecidas:
A fórmula acima define k(s) em termos de derivadas de x e y em relação a um parâmetro s (a notação ' indica derivada em relação a s).
A curva é um círculo de raio a.
O objetivo final é encontrar k(s) para essa curva reparametrizada.]
Passo 2
Entendendo “reparametrização” e escolhendo o parâmetro prático.
Reparametrizar por comprimento de arco (ou seja, usar s como parâmetro igual ao arco percorrido) é a escolha natural: com parâmetro de comprimento de arco a fórmula dada é direta e as derivadas satisfazem x'(s)^2+y'(s)^2=1.
Para um círculo de raio a a relação entre o ângulo polar t e o comprimento de arco s é
s = a\,t \qquad\Rightarrow\qquad t=\frac{s}{a},
pois ao girar o ângulo t no centro percorre-se arco de comprimento a t.
Passo 3
Escrever a parametrização do círculo em função de s.
A parametrização usual por ângulo é \big(a\cos t,\;a\sin t\big). Substituindo t=\dfrac{s}{a} (reparametrização por arco) obtém-se
Portanto a curvatura é constante e igual a \dfrac{1}{a}. Geometricamente isso diz que a curvatura do círculo é o inverso do seu raio (quanto maior o raio, menor a curvatura), o que costuma ser uma boa intuição para fixar na prova.]