k(s)=\left|\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} x^{\prime} & y^{\prime} \\\ x^{\prime \prime} & y^{\prime \prime} \end{array}\right)\right| .
Utilize esta fórmula para obter a curvatura do círculo de raio a após reparametrização.

Passo 1

O enunciado nos dá a fórmula
k(s)=\left|\det\begin{pmatrix}x' & y' \\[4pt] x'' & y''\end{pmatrix}\right|
e pede: obter a curvatura do círculo de raio a após reparametrização.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula acima define k(s) em termos de derivadas de x e y em relação a um parâmetro s (a notação ' indica derivada em relação a s).
  • A curva é um círculo de raio a.
    O objetivo final é encontrar k(s) para essa curva reparametrizada.]

Passo 2

Entendendo “reparametrização” e escolhendo o parâmetro prático.
  • Reparametrizar por comprimento de arco (ou seja, usar s como parâmetro igual ao arco percorrido) é a escolha natural: com parâmetro de comprimento de arco a fórmula dada é direta e as derivadas satisfazem x'(s)^2+y'(s)^2=1.
  • Para um círculo de raio a a relação entre o ângulo polar t e o comprimento de arco s é
s = a\,t \qquad\Rightarrow\qquad t=\frac{s}{a},
pois ao girar o ângulo t no centro percorre-se arco de comprimento a t.

Passo 3

Escrever a parametrização do círculo em função de s.
A parametrização usual por ângulo é \big(a\cos t,\;a\sin t\big). Substituindo t=\dfrac{s}{a} (reparametrização por arco) obtém-se
x(s)=a\cos\!\left(\frac{s}{a}\right),\qquad y(s)=a\sin\!\left(\frac{s}{a}\right).

Passo 4

Calcular as derivadas primeiras x'(s) e y'(s) (aplicando a regra da cadeia).
  • Derivando x(s)=a\cos\!\left(\dfrac{s}{a}\right):
x'(s)=a\cdot\bigl(-\sin\!\left(\tfrac{s}{a}\right)\bigr)\cdot\left(\tfrac{1}{a}\right)=-\sin\!\left(\tfrac{s}{a}\right).
  • Derivando y(s)=a\sin\!\left(\dfrac{s}{a}\right):
y'(s)=a\cdot\cos\!\left(\tfrac{s}{a}\right)\cdot\left(\tfrac{1}{a}\right)=\cos\!\left(\tfrac{s}{a}\right).
Observação útil (verificação de unidade de velocidade):
x'(s)^2+y'(s)^2=\sin^2\!\left(\tfrac{s}{a}\right)+\cos^2\!\left(\tfrac{s}{a}\right)=1,
logo a parametrização por s é de velocidade unitária, como prometido.

Passo 5

Calcular as derivadas segundas x''(s) e y''(s).
  • Derivando x'(s)=-\sin\!\left(\tfrac{s}{a}\right):
x''(s)=-\cos\!\left(\tfrac{s}{a}\right)\cdot\left(\tfrac{1}{a}\right)=-\frac{1}{a}\cos\!\left(\tfrac{s}{a}\right).
  • Derivando y'(s)=\cos\!\left(\tfrac{s}{a}\right):
y''(s)=-\sin\!\left(\tfrac{s}{a}\right)\cdot\left(\tfrac{1}{a}\right)=-\frac{1}{a}\sin\!\left(\tfrac{s}{a}\right).

Passo 6

Calcular o determinante da matriz das derivadas e simplificar.
A definição exige
\det\begin{pmatrix}x' & y' \\[4pt] x'' & y''\end{pmatrix}=x'(s)\,y''(s)-y'(s)\,x''(s).
Substituindo as expressões encontradas:
\begin{aligned} x'(s)\,y''(s)-y'(s)\,x''(s) &= \bigl(-\sin(\tfrac{s}{a})\bigr)\cdot\bigl(-\tfrac{1}{a}\sin(\tfrac{s}{a})\bigr) - \bigl(\cos(\tfrac{s}{a})\bigr)\cdot\bigl(-\tfrac{1}{a}\cos(\tfrac{s}{a})\bigr)\\[6pt] &= \frac{1}{a}\sin^2\!\left(\tfrac{s}{a}\right) + \frac{1}{a}\cos^2\!\left(\tfrac{s}{a}\right)\\[6pt] &= \frac{1}{a}\bigl(\sin^2+\cos^2\bigr)=\frac{1}{a}. \end{aligned}]

Passo 7

Aplicar o valor absoluto pedido pela fórmula e interpretar.
Como o determinante vale \dfrac{1}{a} e é positivo, tem-se
k(s)=\left|\det\begin{pmatrix}x' & y' \\[4pt] x'' & y''\end{pmatrix}\right|=\frac{1}{a}.
Portanto a curvatura é constante e igual a \dfrac{1}{a}. Geometricamente isso diz que a curvatura do círculo é o inverso do seu raio (quanto maior o raio, menor a curvatura), o que costuma ser uma boa intuição para fixar na prova.]

Resposta

k(s)=\frac{1}{a}

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