Determine os limites:
(e)
.
(e)
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende para
pela direita do vetor
Informações relevantes fornecidas:
- A variável
tende para pela direita, isto é . - As três componentes são as funções
, e . - Domínios:
está definido para (logo definido em uma vizinhança direita de ); está definido para ; está definida para e podemos estudar o limite quando .
O que será feito: calcular o limite de cada componente separadamente e, depois, juntar os resultados (o limite de um vetor é o vetor dos limites das componentes, quando estes existirem).
Passo 2
Limite da primeira componente
.
A função
é contínua em
(na verdade em todo
). Isso significa que se
então
. Aqui
e, quando
, tem-se
. Portanto, pela continuidade,
Comentário didático: em palavras, quando
fica muito pequeno,
fica muito próximo de
, e o logaritmo de algo próximo de
é algo próximo de
.
Passo 3
Limite da segunda componente
.
A função
é contínua em
pelo lado direito. Assim,
Comentário didático: a raiz quadrada de números próximos de
é um número próximo de
.
Passo 4
Limite da terceira componente
.
Aqui é útil usar a identidade trigonométrica
Substituindo na expressão:
Reescrevendo para evidenciar um fator que tende a
, escrevemos
Assim
Agora usamos o limite clássico (fundamental em trigonometria)
Colocando
, quando
temos
e portanto
. Da expressão anterior segue que
Comentário didático: o numerador
é da ordem de
para
pequeno, então dividido por
fica da ordem de
e tende a
.
Passo 5
Juntar os resultados (limite do vetor).
Encontramos os limites das três componentes:
Como cada componente tem limite, o limite do vetor é o vetor formado por esses limites. Portanto o limite pedido é o triplo de zeros.