Determine os limites:
(e) \lim _{t \rightarrow 0^{+}}\left(\log (1-t), \sqrt{t}, \frac{1-\cos t}{t}\right).

Passo 1

O enunciado pede o limite quando t tende para 0 pela direita do vetor
\bigl(\log(1-t),\;\sqrt{t},\;\frac{1-\cos t}{t}\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável t tende para 0 pela direita, isto é \,t\to0^+.
  • As três componentes são as funções \log(1-t), \sqrt{t} e \dfrac{1-\cos t}{t}.
  • Domínios: \log(1-t) está definido para t<1 (logo definido em uma vizinhança direita de 0); \sqrt{t} está definido para t\ge0; \dfrac{1-\cos t}{t} está definida para t\neq0 e podemos estudar o limite quando t\to0^+.
O que será feito: calcular o limite de cada componente separadamente e, depois, juntar os resultados (o limite de um vetor é o vetor dos limites das componentes, quando estes existirem).

Passo 2

Limite da primeira componente \log(1-t).
A função \log x é contínua em x=1 (na verdade em todo (0,\infty)). Isso significa que se x\to1 então \log x\to\log 1. Aqui x=1-t e, quando t\to0^+, tem-se 1-t\to1. Portanto, pela continuidade,
\lim_{t\to0^+}\log(1-t)=\log\!\bigl(\lim_{t\to0^+}(1-t)\bigr)=\log(1)=0.
Comentário didático: em palavras, quando t fica muito pequeno, 1-t fica muito próximo de 1, e o logaritmo de algo próximo de 1 é algo próximo de 0.

Passo 3

Limite da segunda componente \sqrt{t}.
A função \sqrt{x} é contínua em x=0 pelo lado direito. Assim,
\lim_{t\to0^+}\sqrt{t}=\sqrt{\lim_{t\to0^+}t}=\sqrt{0}=0.
Comentário didático: a raiz quadrada de números próximos de 0 é um número próximo de 0.

Passo 4

Limite da terceira componente \dfrac{1-\cos t}{t}.
Aqui é útil usar a identidade trigonométrica
1-\cos t = 2\sin^2\!\left(\frac{t}{2}\right).
Substituindo na expressão:
\frac{1-\cos t}{t} = \frac{2\sin^2\!\left(\tfrac{t}{2}\right)}{t}.
Reescrevendo para evidenciar um fator que tende a 1, escrevemos
\sin^2\!\left(\tfrac{t}{2}\right) = \left(\frac{t}{2}\right)^2 \left(\frac{\sin(\tfrac{t}{2})}{\tfrac{t}{2}}\right)^2.
Assim
\frac{1-\cos t}{t} = 2\cdot \frac{\left(\tfrac{t}{2}\right)^2}{t}\cdot \left(\frac{\sin(\tfrac{t}{2})}{\tfrac{t}{2}}\right)^2 = \frac{t}{2}\cdot \left(\frac{\sin(\tfrac{t}{2})}{\tfrac{t}{2}}\right)^2.
Agora usamos o limite clássico (fundamental em trigonometria)
\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.
Colocando u=\tfrac{t}{2}, quando t\to0^+ temos u\to0 e portanto \dfrac{\sin(\tfrac{t}{2})}{\tfrac{t}{2}}\to1. Da expressão anterior segue que
\lim_{t\to0^+}\frac{1-\cos t}{t}=\lim_{t\to0^+}\frac{t}{2}\cdot \left(\frac{\sin(\tfrac{t}{2})}{\tfrac{t}{2}}\right)^2 =\left(\lim_{t\to0^+}\frac{t}{2}\right)\cdot\left(\lim_{t\to0^+}\frac{\sin(\tfrac{t}{2})}{\tfrac{t}{2}}\right)^2 =0\cdot 1^2=0.
Comentário didático: o numerador 1-\cos t é da ordem de t^2 para t pequeno, então dividido por t fica da ordem de t e tende a 0.

Passo 5

Juntar os resultados (limite do vetor).
Encontramos os limites das três componentes:
\lim_{t\to0^+}\log(1-t)=0,\qquad \lim_{t\to0^+}\sqrt{t}=0,\qquad \lim_{t\to0^+}\frac{1-\cos t}{t}=0.
Como cada componente tem limite, o limite do vetor é o vetor formado por esses limites. Portanto o limite pedido é o triplo de zeros.

Resposta

\,(0,0,0)

Exercícios relacionados