Integre as seguintes funções vetoriais:
(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede que integremos essa função em relação a
(isto é, encontrar uma antiderivada ou integral indefinida). Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A componente em
é . - Não há termo em
, logo a componente em é . - A componente em
é . - Como aparece
, o domínio natural dessa função é . Portanto as integrais que envolverem são válidas para .
O que se pede: calcular, obtendo uma função vetorial cuja derivada é .
Passo 2
Regra importante (fórmula) para integrar funções vetoriais: integra-se componente a componente. Explicitamente,
onde
é uma constante vetorial de integração que pode ser escrita como
. Cada
é uma constante real. Essa é a ideia: encontrar antiderivadas das três componentes separadamente.
Passo 3
Integração da componente em
:
Explicação: a função exponencial
é uma das poucas cuja derivada é ela mesma; logo sua antiderivada é
(mais uma constante).
Passo 4
Integração da componente em
:
Explicação: a integral de zero é constante. Podemos incorporar essa constante em
. Em muitas respostas é comum escrever simplesmente
para a parte variável e deixar a constante vetorial geral no final.
Passo 5
Integração da componente em
: calcular
. Aqui usamos a fórmula de integração por partes:
Escolha prática (padrão) para
:
- tome
(porque sua derivada simplifica) e . - então
e .
Aplicando integração por partes:
Observação: como já lembrado, essa fórmula vale para
.
Passo 6
Agora juntamos as três componentes e agrupamos as constantes de integração numa única constante vetorial
. Assim a integral indefinida é
Podemos limpar o termo nulo em
e escrever de forma mais compacta:
Passo 7
Checagem rápida (bom hábito): derivando a resposta deve-se recuperar
.
-
(componente ). -
(componente ). - derivada da constante vetorial
é zero.
Portanto a derivada volta a ser, como exigido. Isso confirma que a integral está correta.
Resposta
onde
e a expressão vale para
.