Integre as seguintes funções vetoriais:
(d) \vec{r}(t)=e^{t \vec{i}}+\ln t \vec{k}.

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\vec{r}(t)=e^{t}\,\vec{i}+\ln t\,\vec{k}
e pede que integremos essa função em relação a t (isto é, encontrar uma antiderivada ou integral indefinida). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A componente em \vec{i} é x(t)=e^{t}.
  • Não há termo em \vec{j}, logo a componente em \vec{j} é y(t)=0.
  • A componente em \vec{k} é z(t)=\ln t.
  • Como aparece \ln t, o domínio natural dessa função é t>0. Portanto as integrais que envolverem \ln t são válidas para t>0.
    O que se pede: calcular \displaystyle \int \vec{r}(t)\,dt, obtendo uma função vetorial cuja derivada é \vec{r}(t).

Passo 2

Regra importante (fórmula) para integrar funções vetoriais: integra-se componente a componente. Explicitamente,
\int \vec{r}(t)\,dt=\int x(t)\,dt\,\vec{i}+\int y(t)\,dt\,\vec{j}+\int z(t)\,dt\,\vec{k}+\vec{C},
onde \vec{C} é uma constante vetorial de integração que pode ser escrita como \vec{C}=C_1\vec{i}+C_2\vec{j}+C_3\vec{k}. Cada C_i é uma constante real. Essa é a ideia: encontrar antiderivadas das três componentes separadamente.

Passo 3

Integração da componente em \vec{i}:
\int e^{t}\,dt=e^{t}+C_1.
Explicação: a função exponencial e^{t} é uma das poucas cuja derivada é ela mesma; logo sua antiderivada é e^{t} (mais uma constante).

Passo 4

Integração da componente em \vec{j}:
\int 0\,dt=0+C_2.
Explicação: a integral de zero é constante. Podemos incorporar essa constante em \vec{C}. Em muitas respostas é comum escrever simplesmente 0 para a parte variável e deixar a constante vetorial geral no final.

Passo 5

Integração da componente em \vec{k}: calcular \displaystyle \int \ln t\,dt. Aqui usamos a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolha prática (padrão) para \int \ln t\,dt:
  • tome u=\ln t (porque sua derivada simplifica) e dv=dt.
  • então du=\dfrac{1}{t}\,dt e v=t.
Aplicando integração por partes:
\int \ln t\,dt = (\ln t)\cdot t - \int t\cdot\frac{1}{t}\,dt = t\ln t - \int 1\,dt = t\ln t - t + C_3.
Observação: como já lembrado, essa fórmula vale para t>0.

Passo 6

Agora juntamos as três componentes e agrupamos as constantes de integração numa única constante vetorial \vec{C}=C_1\vec{i}+C_2\vec{j}+C_3\vec{k}. Assim a integral indefinida é
\int \vec{r}(t)\,dt = e^{t}\,\vec{i} + 0\cdot\vec{j} + \bigl(t\ln t - t\bigr)\,\vec{k} + \vec{C}.
Podemos limpar o termo nulo em \vec{j} e escrever de forma mais compacta:
\int \vec{r}(t)\,dt = e^{t}\,\vec{i} + \bigl(t\ln t - t\bigr)\,\vec{k} + \vec{C}.

Passo 7

Checagem rápida (bom hábito): derivando a resposta deve-se recuperar \vec{r}(t).
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(e^{t}\bigr)=e^{t} (componente \vec{i}).
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(t\ln t - t\bigr)=\ln t + 1 - 1=\ln t (componente \vec{k}).
  • derivada da constante vetorial \vec{C} é zero.
    Portanto a derivada volta a ser e^{t}\vec{i}+\ln t\vec{k}, como exigido. Isso confirma que a integral está correta.

Resposta

\int \vec{r}(t)\,dt = e^{t}\,\vec{i} + \bigl(t\ln t - t\bigr)\,\vec{k} + \vec{C},
onde \vec{C}=C_1\vec{i}+C_2\vec{j}+C_3\vec{k} e a expressão vale para t>0.

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