Determine os limites:
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{3}-5 x}{x+3}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o limite
\lim_{x\to -2} \frac{x^{3}-5x}{x+3}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é uma fração cujo numerador é x^{3}-5x e cujo denominador é x+3.
  • O ponto de aproximação é x=-2.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicado bem devagar): polinômios são funções contínuas em todo número real. Isso significa que, para um polinômio p(x),
\lim_{x\to a} p(x)=p(a)
para qualquer ponto a. Além disso, se f e g são contínuas em a e g(a)\neq 0, então a função quociente f/g é contínua em a e
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)}.
Ou seja: quando o denominador no ponto não é zero, podemos simplesmente substituir x=a na expressão para obter o limite. Isso evita contas complexas — é a regra de substituição para funções contínuas.

Passo 3

Aplicando a regra acima, primeiro verificamos o denominador no ponto x=-2:
(-2)+3=1.
Como 1\neq 0, o denominador não se anula em x=-2. Portanto podemos substituir diretamente.

Passo 4

Calculamos agora o numerador em x=-2. Fazendo conta passo a passo:
(-2)^{3}-5(-2) = -8 + 10 = 2.
Expliquei cada termo: (-2)^3=-8 e -5(-2)=+10.

Passo 5

Agora formamos a fração com os valores obtidos:
\frac{\text{numerador em }-2}{\text{denominador em }-2}=\frac{2}{1}=2.

Passo 6

Conclusão: como tanto numerador quanto denominador são polinômios (portanto contínuos) e o denominador em x=-2 é diferente de zero, o limite é igual ao valor da função em x=-2, que calculamos ser 2. Força aí — é só substituir quando o denominador não dá zero!

Resposta

2

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