Determine os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+2 x+1}{x+5}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}+2x+1}{x+5}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio x^{2}+2x+1.
  • O denominador é o polinômio (afim) x+5.
  • A variável tende a 0.
    Não há outras condições (como indeterminações) explícitas no enunciado.

Passo 2

Conceito útil: polinômios e funções racionais simples são contínuos onde estão definidos. Isso significa que, se o denominador não for zero no ponto em que queremos o limite, podemos simplesmente substituir o valor de x na expressão para obter o limite (chamado de “substituição direta”).
Explicando rápido e simples:
  • Uma função f(x) é contínua em a se \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
  • Polinômios (como x^{2}+2x+1) e somas/produtos de polinômios são contínuos em todo lugar.
  • Uma função racional \frac{P(x)}{Q(x)} é contínua em a se Q(a)\neq 0. Nesse caso, \lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(a)}{Q(a)}.

Passo 3

Verificamos o denominador no ponto x=0:
x+5 \quad\text{em}\quad x=0 \Rightarrow 0+5=5.
Como 5\neq 0, a função é contínua em 0 e podemos usar substituição direta para o limite.

Passo 4

Aplicando substituição direta: calcule o numerador e o denominador em x=0.
Numerador:
x^{2}+2x+1 \quad\text{em}\quad x=0 \Rightarrow 0^{2}+2\cdot0+1=1.
Denominador (já calculado):
x+5 \quad\text{em}\quad x=0 \Rightarrow 5.
Portanto o quociente é
\frac{1}{5}.

Passo 5

Comentário didático extra (útil na prova): também dá para ver o numerador como quadrado perfeito, o que ajuda a reconhecer o valor rápido:
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
Assim
\frac{x^{2}+2x+1}{x+5}=\frac{(x+1)^{2}}{x+5},
e ao fazer x\to 0 fica \dfrac{(0+1)^{2}}{0+5}=\dfrac{1}{5}. Isso confirma o resultado e mostra uma forma alternativa de pensar.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}

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