Determine os limites:
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{2}+2 x-3}{x-1}

Passo 1

O que o problema pede: calcular o limite unidirecional
\lim_{x\to 1^{+}} \frac{x^{2}+2x-3}{x-1}.
Informações dadas e observações importantes do enunciado:
  • A função dada é \dfrac{x^{2}+2x-3}{x-1}.
  • O ponto de interesse é x=1.
  • O limite é pelo lado direito (isso significa que consideramos x aproximando-se de 1 com x>1).
  • Note que o denominador (x-1) anula-se em x=1, então a expressão original não está definida exatamente em x=1; o limite trata do comportamento quando x se aproxima de 1, não do valor em 1.

Passo 2

Vamos analisar o numerador para ver se podemos simplificar a expressão. A técnica aqui é fatorar o polinômio do numerador \,x^{2}+2x-3.
Fatoração: procuramos dois números que multiplicados dão -3 e somados dão 2. Esses números são 3 e -1. Então
x^{2}+2x-3 = (x+3)(x-1).
Verificação rápida: (x+3)(x-1)=x^{2}-x+3x-3=x^{2}+2x-3. Está correto.

Passo 3

Substituímos a fatoração na expressão original:
\frac{x^{2}+2x-3}{x-1}=\frac{(x+3)(x-1)}{x-1}.
Para x\neq 1 podemos cancelar o fator comum (x-1), obtendo a função equivalente (para x perto de 1, mas diferente de 1):
\frac{(x+3)(x-1)}{x-1}=x+3\qquad\text{(para \(x\neq 1\)).}
Explicação didática: ao calcular limite, o que importa é o comportamento da função quando x se aproxima de 1, não o valor exatamente em 1. Como a simplificação é válida em todo ponto próximo de 1 (exceto no próprio 1), podemos usar a expressão simplificada x+3 para encontrar o limite.

Passo 4

Agora calculamos o limite substituindo a expressão simplificada. Polinômios são funções contínuas, então o limite quando x\to 1 de x+3 é simplesmente o valor em 1:
\lim_{x\to 1^{+}} \frac{x^{2}+2x-3}{x-1} = \lim_{x\to 1^{+}} (x+3) = 1+3 = 4.
Comentário amigo: mesmo sendo um limite unidirecional (pela direita), a simplificação mostra que à esquerda ou à direita a função tende ao mesmo valor 4; portanto o limite existe e é 4.

Passo 5

Interpretação final e observação útil para a prova:
  • A expressão original tem uma descontinuidade removível em x=1: a função não está definida em x=1, mas o limite existe e é finito ( 4). Se definíssemos o valor da função em 1 como 4, a função ficaria contínua em x=1.
  • Exemplo similar para treinar: \lim_{x\to 2}\dfrac{x^{2}-4}{x-2}. Fatorando \,x^{2}-4=(x-2)(x+2) e cancelando (x-2) obtemos x+2, cujo valor em 2 é 4. Mesma ideia básica.

Resposta

\,4

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