Determine os limites:
Passo 1
O que o problema pede: calcular o limite unidirecional
Informações dadas e observações importantes do enunciado:
- A função dada é
. - O ponto de interesse é
. - O limite é pelo lado direito (isso significa que consideramos
aproximando-se de com ). - Note que o denominador
anula-se em , então a expressão original não está definida exatamente em ; o limite trata do comportamento quando se aproxima de , não do valor em .
Passo 2
Vamos analisar o numerador para ver se podemos simplificar a expressão. A técnica aqui é fatorar o polinômio do numerador
.
Fatoração: procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Então
Verificação rápida:
. Está correto.
Passo 3
Substituímos a fatoração na expressão original:
Para
podemos cancelar o fator comum
, obtendo a função equivalente (para
perto de
, mas diferente de
):
Explicação didática: ao calcular limite, o que importa é o comportamento da função quando
se aproxima de
, não o valor exatamente em
. Como a simplificação é válida em todo ponto próximo de
(exceto no próprio
), podemos usar a expressão simplificada
para encontrar o limite.
Passo 4
Agora calculamos o limite substituindo a expressão simplificada. Polinômios são funções contínuas, então o limite quando
de
é simplesmente o valor em
:
Comentário amigo: mesmo sendo um limite unidirecional (pela direita), a simplificação mostra que à esquerda ou à direita a função tende ao mesmo valor
; portanto o limite existe e é
.
Passo 5
Interpretação final e observação útil para a prova:
- A expressão original tem uma descontinuidade removível em
: a função não está definida em , mas o limite existe e é finito ( ). Se definíssemos o valor da função em como , a função ficaria contínua em . - Exemplo similar para treinar:
. Fatorando e cancelando obtemos , cujo valor em é . Mesma ideia básica.