Determine os limites.
\lim _{x \rightarrow-2}\left(x^{3}-2 x^{2}+4 x+8\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -2}\left(x^{3}-2x^{2}+4x+8\right).
Informações dadas:
  • A função dentro do limite é o polinômio f(x)=x^{3}-2x^{2}+4x+8.
  • Quer-se o valor do limite quando x se aproxima de -2.

Passo 2

Ideia que vamos usar (relembrando passo a passo a teoria necessária, sem pressupor que já saiba): polinômios são funções contínuas em todo ponto. “Contínua” aqui significa que o limite da função quando x se aproxima de um ponto é igual ao valor da função naquele ponto. Em símbolos, se f é contínua em a então
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Por que isso vale para polinômios? Porque um polinômio é obtido por somas, subtrações e multiplicações de potências de x (e constantes). As regras básicas de limite dizem que, se \lim_{x\to a} g(x) e \lim_{x\to a} h(x) existem, então
\lim_{x\to a}\big(g(x)\pm h(x)\big)=\lim_{x\to a}g(x)\pm\lim_{x\to a}h(x)
e
\lim_{x\to a}\big(g(x)\cdot h(x)\big)=\lim_{x\to a}g(x)\cdot\lim_{x\to a}h(x).
Como as funções x\mapsto x e constantes têm limites óbvios em todo ponto, potências x\mapsto x^n também têm limites (pela repetição do produto), e então qualquer combinação polinomial tem limite igual ao valor obtido substituindo x=a. Em resumo: para esse problema podemos simplesmente substituir x=-2 no polinômio.

Passo 3

Aplicando a substituição x=-2 em cada termo do polinômio, calculamos termo a termo:
(-2)^{3}=-8,
-2\cdot(-2)^{2}=-2\cdot 4=-8,
4\cdot(-2)=-8,
+8=8.

Passo 4

Agora somamos todos os termos obtidos, passo a passo:
-8 + (-8) = -16,
-16 + (-8) = -24,
-24 + 8 = -16.

Passo 5

Concluímos, usando a continuidade do polinômio (ou a propriedade da soma/produto de limites), que o limite pedido é o valor calculado acima.

Resposta

-16

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