Determine os limites:
. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função vetorial quando
se aproxima de 0. A função é
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve limites de funções trigonométricas e exponenciais. Precisamos entender como cada componente da função se comporta quando
vai para 0.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro componente:
.
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando tudo por
:
Como
está se aproximando de 0, tanto
quanto
vão para 0. Pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Armadilha), isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos para o segundo componente:
.
Sabemos que:
E a função cosseno é contínua, o que significa que:
Então, multiplicando por 2:
Passo 4
Por fim, vamos analisar o terceiro componente:
.
Primeiro, vamos ver o que acontece com
quando
se aproxima de 0:
Então,
Agora, somando com 2:
Resposta
O limite é
.