Determine os limites:
lim t 0(t sin 1t, 2 cos t, 2+e^tan t). Resp.: (0,2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função vetorial quando t se aproxima de 0. A função é (t sin 1t, 2 cos t, 2+e^tan t). O conteúdo que vamos usar aqui envolve limites de funções trigonométricas e exponenciais. Precisamos entender como cada componente da função se comporta quando t vai para 0.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro componente: t sin 1t .
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= sin 1t <= 1
Multiplicando tudo por t :
- t <= t sin 1t <= t
Como t está se aproximando de 0, tanto -t quanto t vão para 0. Pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Armadilha), isso significa que:
limt to 0 t sin 1t = 0

Passo 3

Agora, vamos para o segundo componente: 2 cos t .
Sabemos que:
cos 0 = 1
E a função cosseno é contínua, o que significa que:
limt to 0 cos t = cos 0 = 1
Então, multiplicando por 2:
limt to 0 2 cos t = 2 times 1 = 2

Passo 4

Por fim, vamos analisar o terceiro componente: 2 + e^tan t .
Primeiro, vamos ver o que acontece com tan t quando t se aproxima de 0:
limt to 0 tan t = 0
Então,
limt to 0 e^tan t = e^0 = 1
Agora, somando com 2:
limt to 0 (2 + e^tan t) = 2 + 1 = 3

Resposta

O limite é (0, 2, 3) .

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