y^(5)-4 y^prime prime prime=0
R: y(x)=c1+c2 x+c3 x^2+c4 e^2 x+c5 e^-2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem cinco com coeficientes constantes
y^(5) - 4,y^primeprimeprime = 0
O método consiste em escrever a equação característica, encontrar suas raízes e montar a combinação linear das soluções elementares.

Passo 2

Substituímos ysim e^r x e obtemos a equação característica
r^5 - 4,r^3 = 0
Fatorando,
r^3,(r^2 - 4)=0,
portanto as raízes são
r=0(mu<iplicidade 3), r=2, r=-2

Passo 3

Cada raiz gera soluções independentes:
  • r=0 com multiplicidade 3 dá as soluções e^0x=1, x,e^0x=x e x^2,e^0x=x^2.
  • r=2 gera e^2x.
  • r=-2 gera e^-2x.
    Logo, a solução geral é a combinação linear dessas cinco soluções.

Resposta

y(x)=c1 + c2,x + c3,x^2 + c4,e^2x + c5,e^-2x

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