Determine os limites das seguintes seqüências:
5)
lim n infty(n+1) e^-n

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência an=(n+1)e^-n quando ntoinfty. Isso cai no conteúdo de limites de sequências e no estudo de comportamento assintótico de funções polinomiais versus exponenciais.

Passo 2

Para deixar mais claro quem domina, a gente reescreve a sequência como

Passo 3

an=n+1e^n

Passo 4

Sabemos da teoria que a função exponencial e^n cresce muito mais rápido que qualquer polinômio em n. Logo, intuitivamente, essa fração deve ir a zero. Mas vamos confirmar de forma formal.

Passo 5

Considere a função contínua

Passo 6

f(x)=x+1e^x

Passo 7

e observe que ao levar xtoinfty ela assume a forma indeterminada infty/infty. Podemos aplicar a Regra de l’Hôpital.

Passo 8

Derivando numerador e denominador temos: derivada de x+1 é 1 e de e^x é e^x. Assim

Passo 9

limxtoinftyf(x)=limxtoinfty1e^x=0

Passo 10

Como o limite da função contínua é zero, o limite da nossa sequência an também é 0.

Resposta

0

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