Seja
a curva de interseção das superfícies
e
. Encontre uma parametrização para
. (Não esqueça de especificar o intervalo onde o parâmetro assume valores) [1.0]
Passo 1
O enunciado pede para parametrizar a curva γ que é a interseção das superfícies z = √(½ x² + y²) e ½ x² + z² = 1. Vamos usar álgebra para obter uma relação entre x e y e depois parametrizar esse conjunto por um parâmetro t.
Passo 2
Elevar ao quadrado a primeira superfície dá z² = ½ x² + y². Substituindo essa expressão em ½ x² + z² = 1 obtemos
que simplifica para
Passo 3
A relação x² + y² = 1 é o círculo unitário no plano xy. Podemos então parametrizar x e y por
Passo 4
Para encontrar z basta usar z = √(½ x² + y²). Substituindo a parametrização de x e y:
Resposta
Uma parametrização conveniente é