Seja gamma a curva de interseção das superfícies z=raiz12 x^2+y^2 e 12 x^2+z^2=1. Encontre uma parametrização para gamma. (Não esqueça de especificar o intervalo onde o parâmetro assume valores) [1.0]

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a curva γ que é a interseção das superfícies z = √(½ x² + y²) e ½ x² + z² = 1. Vamos usar álgebra para obter uma relação entre x e y e depois parametrizar esse conjunto por um parâmetro t.

Passo 2

Elevar ao quadrado a primeira superfície dá z² = ½ x² + y². Substituindo essa expressão em ½ x² + z² = 1 obtemos
tfrac12 x^2 + l(tfrac12 x^2 + y^2r) = 1
que simplifica para
x^2 + y^2 = 1

Passo 3

A relação x² + y² = 1 é o círculo unitário no plano xy. Podemos então parametrizar x e y por
x = cos t, y = sin t, tin[0,2pi]

Passo 4

Para encontrar z basta usar z = √(½ x² + y²). Substituindo a parametrização de x e y:
z = raiztfrac12cos^2 t + sin^2 t

Resposta

Uma parametrização conveniente é
gamma(t)=l(cos t,,sin t,,raiztfrac12cos^2 t + sin^2 tr), tin[0,2pi]

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