y^prime prime prime-3 y^prime prime+3 y^prime-y=0, sendo y(0)=1, y^prime(0)=2 e y^prime prime(0)=-1
R: y(x)=e^x+x e^x-2 x^2 e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - 3y'' + 3y' - y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1, y'(0)=2 e y''(0)=-1. Vamos usar o método do polinômio característico e depois ajustar as constantes pela condição inicial.

Passo 2

Formamos o polinômio característico substituindo y=e^rx:
r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = 0

Passo 3

Observamos que
r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = (r - 1)^3 = 0,
ou seja, há raiz dupla de multiplicidade três em r=1.

Passo 4

Para uma raiz de multiplicidade três, a solução geral é
y(x) = l(C1 + C2,x + C3,x^2r)e^x

Passo 5

Defina u(x)=C1 + C2 x + C3 x^2. Então
y = u,e^x, y'=(u'+u)e^x, y''=(u''+2u'+u)e^x
Em x=0 temos u(0)=C1, u'(0)=C2, u''(0)=2C3.
Daí
y(0)=C1=1,
y'(0)=l(C2 + C1r)=2Rightarrow C2=1,
y''(0)=l(2C3 + 2C2 + C1r)=-1Rightarrow 2C3 +2cdot1 +1=-1 Rightarrow C3=-2

Resposta

y(x) = l(1 + x - 2x^2r)e^x = e^x + x,e^x - 2x^2,e^x

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