y^(4)-16 y=0
R: y(x)=c1 e^2 x+c2 e^-2 x+c3 cos (2 x)+c4 sen(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
y^(4) - 16,y = 0
Essa é uma EDO de coeficientes constantes, então vamos usar a técnica de equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada substituindo ymapsto e^r x:
r^4 - 16 = 0
Resolvendo,
r^4 = 16 Longrightarrow r^2 = pm 4
Logo as raízes são
r = 2, r = -2, r = 2,i, r = -2,i

Passo 3

Para cada raiz real temos termos da forma e^r x:
c1 e^2x e c2 e^-2x
Para as raízes complexas conjugadas pm 2i usamos a identidade de Euler para obter as soluções reais independentes
cos(2x) e sin(2x),
com constantes c3 e c4.

Resposta

y(x) = c1e^2x + c2e^-2x + c3cos(2x) + c4sin(2x)

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