QUESTÃO 4 (Valor 2,0 pontos): Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência: \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{\ln k}
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{\ln k}.
O conteúdo aqui é encontrar o raio de convergência usando o teste da razão (ou da raiz) e depois examinar o comportamento nos pontos extremos x=1 e x=-1.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão. Definindo a_{k} = 1/\ln k, temos
L \;=\;\lim_{k\to\infty}\Bigl|\frac{a_{k+1}\,x^{k+1}}{a_{k}\,x^{k}}\Bigr| =\;|x|\;\lim_{k\to\infty}\frac{\ln k}{\ln(k+1)} =\;|x|.
Pela (razão), a série converge se L<1, isto é |x|<1, e diverge se |x|>1. Logo o raio de convergência é R=1.
Passo 3
Testando x=1, a série fica
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{\ln k}.
Como \frac{1}{\ln k} é positiva, decrescente para k grande e
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{\ln x}=\infty,
pelo teste da integral ela diverge. Portanto a série diverge em x=1.
Passo 4
Testando x=-1, a série é
\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{1}{\ln k}.
Aqui b_{k}=1/\ln k é positiva, decrescente para k\ge3 e \lim_{k\to\infty}b_{k}=0. Pelo critério de Leibniz, essa série alternante converge. Assim em x=-1 a série converge condicionalmente.