Encontre um conjunto fundamental de solução reais para o sistema
X^prime=(ll -3 & 2 -4 & 1 ) X
e, em seguida, escreva sua solução geral.

Passo 1

O enunciado pede um conjunto fundamental de soluções reais para o sistema linear de dimensão 2
X' = A,X,
com
A = -3 & 2 -4 & 1
O conteúdo principal aqui é resolver sistemas lineares com autovalores complexos, extraindo depois as partes real e imaginária para obter duas soluções reais independentes.

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de A.
det(A - lambda I) = (-3-lambda)(1-lambda) - 2cdot(-4) = lambda^2 + 2lambda + 5
As raízes são
lambda = -2 pm raiz4 - 202 = -1 pm 2,i

Passo 3

Escolhemos lambda = -1 + 2,i e buscamos um autovetor vneq0 tais que (A-lambda I)v=0.
Isso dá o sistema
(-3 -(-1+2i)),x + 2,y = 0 ;Longrightarrow; (-2 - 2i)x + 2y = 0 ;Longrightarrow; y = (1+i),x
Tomamos x=1 para simplificar e obtemos
v = 1 [4pt] 1+i
]

Passo 4

A solução complexa associada é
Xc(t) = e^(-1+2i)t,v
Escrevendo Xc(t)=u(t)+i,w(t) e extraindo parte real e imaginária vemos que
u(t) = e^-t cos(2t) [4pt] cos(2t)-sin(2t) , w(t) = e^-t sin(2t) [4pt] cos(2t)+sin(2t)
Essas duas são soluções reais independentes.
]

Passo 5

Como u(t) e w(t) formam um conjunto fundamental, a solução geral do sistema é
X(t) = C1,u(t) + C2,w(t),
com C1,C2inR.

Resposta

Um conjunto fundamental de soluções reais é
u(t) = e^-t cos(2t) [4pt] cos(2t)-sin(2t) , w(t) = e^-t sin(2t) [4pt] cos(2t)+sin(2t)
A solução geral é
X(t) = C1,e^-t cos(2t) [4pt] cos(2t)-sin(2t) + C2,e^-t sin(2t) [4pt] cos(2t)+sin(2t)
]

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