Determine os limites a seguir, se existirem, ou mostre que não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} \operatorname{sen}^{2} y}{2 x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{x^{2}\sin^{2}y}{2x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo aqui é limite em \mathbb{R}^2 usando desigualdades e teorema do sanduíche (squeeze theorem). Vamos mostrar que |f(x,y)| pode ser “encostada” por uma expressão que tende a zero.

Passo 2

Primeiro usamos a desigualdade clássica para o seno: para todo y\in\mathbb{R} vale
|\sin y|\le|y|
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\sin^{2}y\le y^{2}.

Passo 3

Daí, tomando valor absoluto de f(x,y), temos
|f(x,y)|=\frac{x^{2}\,\sin^{2}y}{2x^{2}+y^{2}}\le\frac{x^{2}\,y^{2}}{2x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Repare que
2x^{2}+y^{2}\ge 2x^{2},
então
\frac{x^{2}y^{2}}{2x^{2}+y^{2}}\le\frac{x^{2}y^{2}}{2x^{2}} =\frac{y^{2}}{2}.

Passo 5

Como (x,y)\to(0,0) implica y^{2}/2\to0, pelo teorema do sanduíche segue
|f(x,y)|\le\frac{y^{2}}{2}\to0,
então f(x,y)\to0.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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