(Simmons, p. 62) Encontre as soluções gerais das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
y^{\prime}+y=\frac{1}{1+e^{2 x}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
y' + y = \frac{1}{1 + e^{2x}}.
Aqui P(x)=1 e Q(x)=\frac{1}{1+e^{2x}}. Para resolver usamos o fator integrante
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 1\,dx} = e^x.

Passo 2

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^x. Então
e^x y' + e^x y = \frac{e^x}{1+e^{2x}}.
O lado esquerdo é a derivada do produto e^x y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(e^x y\bigr) = e^x y' + e^x y.
Logo obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(e^x y\bigr) = \frac{e^x}{1+e^{2x}}.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^x y = \int \frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx.
Fazemos a substituição u = e^x, de modo que du = e^x\,dx. A integral vira
\int \frac{du}{1+u^2} = \arctan(u) + C = \arctan\bigl(e^x\bigr) + C.
Portanto
e^x y = \arctan\bigl(e^x\bigr) + C.

Passo 4

Isolando y, dividimos por e^x:
y = e^{-x}\,\arctan\bigl(e^x\bigr) + C\,e^{-x}.

Resposta

A solução geral da equação é
\boxed{y(x) = e^{-x}\,\arctan\bigl(e^x\bigr) + C\,e^{-x},}
onde C é a constante de integração.

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