Encontre a solução geral (ou seja, todas as soluções) de
x y^{\prime}=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x\,y' = 1,
onde y'= \frac{dy}{dx}. O conteúdo envolvido é resolução de equações diferenciais de primeira ordem por separação de variáveis ou por simples rearranjo e integração.

Passo 2

Primeiro isolamos y'. Como x\neq0, dividimos ambos os lados por x:
y' = \frac{1}{x}.
Em termos de diferenciais, isso equivale a
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \quad\Longrightarrow\quad dy = \frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

Integramos os dois lados:
\int dy = \int \frac{1}{x}\,dx
A integral de dy é y e a de 1/x é \ln\lvert x\rvert, mais constante de integração C. Logo
y = \ln\lvert x\rvert + C.

Resposta

A solução geral é
y(x) = \ln\lvert x\rvert + C,
com C constante arbitrária.

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