Determine a linearização da função no ponto.
f(x, y, z)=x y z em(1,1,1);

Passo 1

Estamos procurando a linearização (aproximação linear ou plano tangente) da função
f(x,y,z)=xyz
no ponto (1,1,1). Para isso vamos usar a ideia de diferencial total, ou seja, calcular as derivadas parciais de f e montar
L(x,y,z)=f(1,1,1)+fx(1,1,1),(x-1)+fy(1,1,1),(y-1)+fz(1,1,1),(z-1)

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f(x,y,z)=xyz:
fx(x,y,z)=yz, fy(x,y,z)=xz, fz(x,y,z)=xy
Agora avaliamos essas derivadas em (1,1,1):
fx(1,1,1)=1cdot1=1, fy(1,1,1)=1cdot1=1, fz(1,1,1)=1cdot1=1
E também
f(1,1,1)=1cdot1cdot1=1

Passo 3

Substituindo na fórmula da linearização, temos
L(x,y,z)=1 + 1,(x-1) + 1,(y-1) + 1,(z-1)

Passo 4

Bastando simplificar
L(x,y,z)=1 + x-1 + y-1 + z-1 = x + y + z -2

Resposta

L(x,y,z)=x+y+z-2

Exercícios relacionados