Determine a linearização no ponto x=0, das seguintes funções:
(c) \sqrt[3]{x^{2}-5}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a linearização no ponto x=0 da função
f(x)=\sqrt[3]{x^{2}-5}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\;f está definida por f(x)=(x^{2}-5)^{1/3} para todo x\in\mathbb{R}.
A tarefa é encontrar a aproximação linear (reta tangente) de f em x=0.

Passo 2

O que é a linearização? Vou explicar devagarinho. A linearização de uma função f num ponto a é a reta que melhor aproxima f perto de a. A fórmula é
L(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a).
Aqui L(x) é a aproximação linear (reta tangente), f(a) é o valor da função no ponto, e f'(a) é a derivada de f em a, que dá a inclinação da reta. Na nossa tarefa a=0, então a fórmula fica
L(x)=f(0)+f'(0)\,x.
Explico cada termo quando for calcular.

Passo 3

Calcular f(0). Substituindo x=0 em f(x):
f(0)=\sqrt[3]{0^{2}-5}=\sqrt[3]{-5}.
Como a raiz cúbica de um número negativo é o negativo da raiz cúbica do módulo,
f(0)=-\sqrt[3]{5}.
Esse será o termo constante da linearização.

Passo 4

Agora preciso da derivada f'(x). Faço passo a passo usando a regra da cadeia:
defino u(x)=x^{2}-5 e g(u)=u^{1/3}, de modo que f(x)=g(u(x)).
A regra da cadeia diz f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Calcule g'(u) usando a regra da potência:
g(u)=u^{1/3}\quad\Rightarrow\quad g'(u)=\tfrac{1}{3}u^{-2/3}.
Calcule u'(x):
u(x)=x^{2}-5\quad\Rightarrow\quad u'(x)=2x.
Multiplicando:
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x)=\tfrac{1}{3}(x^{2}-5)^{-2/3}\cdot 2x.
Simplificando a constante:
f'(x)=\frac{2x}{3\,(x^{2}-5)^{2/3}}.

Passo 5

Avaliar f'(x) em x=0. Substituindo x=0 na expressão da derivada:
f'(0)=\frac{2\cdot 0}{3\,(0^{2}-5)^{2/3}}=\frac{0}{3\,(-5)^{2/3}}=0.
Observação didática: o denominador 3(-5)^{2/3} é finito e não nulo, então o resultado é realmente 0. Isso significa que a reta tangente em x=0 tem inclinação zero (reta horizontal).

Passo 6

Montar a linearização com os valores calculados. Usando L(x)=f(0)+f'(0)\,x e os resultados f(0)=-\sqrt[3]{5} e f'(0)=0, obtemos
L(x)=-\sqrt[3]{5}+0\cdot x=-\sqrt[3]{5}.
Interpretação: a aproximação linear em x=0 é uma constante; para valores de x próximos de 0 a função f(x) é aproximada por essa constante porque a derivada ali é zero.

Passo 7

Dica prática para prova: ao ver f(x)=(\text{algo})^{1/3} use cadeia + potência para derivar; sempre cheque f(a) e f'(a). Se f'(a)=0, a linearização é simplesmente a constante f(a). Isso economiza tempo na hora da prova. Força aí — você consegue!

Resposta

L(x)=-\sqrt[3]{5}

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