Determine a linearização no ponto
, das seguintes funções:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a linearização no ponto
da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
está definida por
para todo
.
A tarefa é encontrar a aproximação linear (reta tangente) de em
.
A tarefa é encontrar a aproximação linear (reta tangente) de
Passo 2
O que é a linearização? Vou explicar devagarinho. A linearização de uma função
num ponto
é a reta que melhor aproxima
perto de
. A fórmula é
Aqui
é a aproximação linear (reta tangente),
é o valor da função no ponto, e
é a derivada de
em
, que dá a inclinação da reta. Na nossa tarefa
, então a fórmula fica
Explico cada termo quando for calcular.
Passo 3
Calcular
. Substituindo
em
:
Como a raiz cúbica de um número negativo é o negativo da raiz cúbica do módulo,
Esse será o termo constante da linearização.
Passo 4
Agora preciso da derivada
. Faço passo a passo usando a regra da cadeia:
defino e
, de modo que
.
A regra da cadeia diz .
defino
A regra da cadeia diz
Calcule
usando a regra da potência:
Calcule
:
Multiplicando:
Simplificando a constante:
Passo 5
Avaliar
em
. Substituindo
na expressão da derivada:
Observação didática: o denominador
é finito e não nulo, então o resultado é realmente
. Isso significa que a reta tangente em
tem inclinação zero (reta horizontal).
Passo 6
Montar a linearização com os valores calculados. Usando
e os resultados
e
, obtemos
Interpretação: a aproximação linear em
é uma constante; para valores de
próximos de
a função
é aproximada por essa constante porque a derivada ali é zero.
Passo 7
Dica prática para prova: ao ver
use cadeia + potência para derivar; sempre cheque
e
. Se
, a linearização é simplesmente a constante
. Isso economiza tempo na hora da prova. Força aí — você consegue!