Determine a linearização no ponto
, das seguintes funções:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede a linearização no ponto
da função
.\n
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- A função é
.\n - O ponto onde queremos a linearização é
.\n
Pedido: - Encontrar a expressão linear
que aproxima nas proximidades de .
Passo 2
Definição e ideia do que é linearização (ou aproximação linear):\n
A linearização de uma função em torno de um ponto
é a reta tangente a
naquele ponto. A fórmula padrão é
A linearização de uma função
Aqui:
-
é o ponto onde aproximamos (no nosso caso ),\n -
é o valor da função no ponto,\n -
é a derivada (a inclinação da tangente) avaliada em ,\n -
é a função linear (reta) que serve de aproximação de para próximo de .\n
Intuição: parabem perto de , ≈ . A derivada fornece o quanto a função varia primeiro ordem ao redor de .
Passo 3
Calcular
.\n
Substituindo em
temos
Substituindo
Explicação rápida:
é uma identidade básica da exponencial.
Passo 4
Calcular a derivada
(passo necessário para obter o coeficiente angular da reta tangente).\n
Usamos a regra da cadeia para derivar composições. Se temos , então
.\n
Aqui . Então
.\n
Aplicando a regra da cadeia:
Usamos a regra da cadeia para derivar composições. Se temos
Aqui
Aplicando a regra da cadeia:
Explicando devagar: primeiro derivamos a função externa
, que retorna
, e depois multiplicamos pela derivada da parte interna
, que é
.
Passo 5
Avaliar a derivada em
: calcular
.\n
Substituindo em
obtemos
Substituindo
Interpretação: a reta tangente em
é horizontal (inclinação zero).
Passo 6
Montar a linearização usando a fórmula do Passo 2 com
,
e
.\n
Substituindo na fórmula
Substituindo na fórmula
Portanto a linearização é a função constante
.\n
Observação didática: como a derivada em é zero, a aproximação linear não capta nenhuma variação de primeira ordem; para captar o termo em
precisaríamos da aproximação quadrática (segunda ordem), que daria
como os primeiros termos da expansão em série de Taylor.
Observação didática: como a derivada em