Determine a linearização no ponto x=0, das seguintes funções:
(d) e^{-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a linearização no ponto x=0 da função e^{-x^{2}}.\n
Dados fornecidos:
  • A função é f(x)=e^{-x^{2}}.\n
  • O ponto onde queremos a linearização é a=0.\n
    Pedido:
  • Encontrar a expressão linear L(x) que aproxima f(x) nas proximidades de x=0.

Passo 2

Definição e ideia do que é linearização (ou aproximação linear):\n
A linearização de uma função f em torno de um ponto a é a reta tangente a f naquele ponto. A fórmula padrão é
L(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a).
Aqui:
  • a é o ponto onde aproximamos (no nosso caso a=0),\n
  • f(a) é o valor da função no ponto,\n
  • f'(a) é a derivada (a inclinação da tangente) avaliada em a,\n
  • L(x) é a função linear (reta) que serve de aproximação de f(x) para x próximo de a.\n
    Intuição: para x bem perto de a, f(x) L(x). A derivada fornece o quanto a função varia primeiro ordem ao redor de a.

Passo 3

Calcular f(a)=f(0).\n
Substituindo x=0 em f(x)=e^{-x^{2}} temos
f(0)=e^{-(0)^{2}}=e^{0}=1.
Explicação rápida: e^{0}=1 é uma identidade básica da exponencial.

Passo 4

Calcular a derivada f'(x) (passo necessário para obter o coeficiente angular da reta tangente).\n
Usamos a regra da cadeia para derivar composições. Se temos g(x)=e^{u(x)}, então g'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).\n
Aqui u(x)=-x^{2}. Então u'(x)=-2x.\n
Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{-x^{2}}=e^{-x^{2}}\cdot(-2x)=-2x\,e^{-x^{2}}.
Explicando devagar: primeiro derivamos a função externa e^{(\cdot)}, que retorna e^{u(x)}, e depois multiplicamos pela derivada da parte interna -x^{2}, que é -2x.

Passo 5

Avaliar a derivada em a=0: calcular f'(0).\n
Substituindo x=0 em f'(x)=-2x\,e^{-x^{2}} obtemos
f'(0)=-2\cdot 0\cdot e^{-(0)^{2}}=0.
Interpretação: a reta tangente em x=0 é horizontal (inclinação zero).

Passo 6

Montar a linearização usando a fórmula do Passo 2 com a=0, f(0)=1 e f'(0)=0.\n
Substituindo na fórmula
L(x)=f(0)+f'(0)\,(x-0)=1+0\cdot(x)=1.
Portanto a linearização é a função constante L(x)=1.\n
Observação didática: como a derivada em 0 é zero, a aproximação linear não capta nenhuma variação de primeira ordem; para captar o termo em x^{2} precisaríamos da aproximação quadrática (segunda ordem), que daria 1 - x^{2} como os primeiros termos da expansão em série de Taylor.

Resposta

L(x)=1

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