Discuta a continuidade das seguintes funçōes:
(f) f(x, y)= \begin{cases}\frac{\operatorname{sen}(x+y)}{x+y} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 2 & \text { se }(x, y)=(0,0) .\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{\operatorname{sen}(x+y)}{x+y},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 2,&\text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
Precisamos discutir onde f é contínua. Lembra que uma função de duas variáveis é contínua num ponto se o limite no ponto existe e coincide com o valor da função ali.

Passo 2

Para qualquer ponto (x_0,y_0)\neq(0,0) em que x_0+y_0\neq0, o denominador é não nulo e \operatorname{sen}(x+y) e x+y são funções contínuas. Logo,
(x,y)\mapsto \frac{\operatorname{sen}(x+y)}{x+y}
é razão de funções contínuas com denominador não zero, logo contínua em todo ponto com x+y\neq0.

Passo 3

Falta analisar (0,0). Vamos ver
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\operatorname{sen}(x+y)}{x+y}.
Basta notar que, quando (x,y)\to(0,0), a soma s=x+y\to0. Sabemos do cálculo de uma variável que
\lim_{s\to0}\frac{\operatorname{sen} s}{s}=1.
Portanto, independentemente da direção de aproximação em \R^2,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\operatorname{sen}(x+y)}{x+y}=1.

Passo 4

Como o valor dado é f(0,0)=2, esse valor difere do limite encontrado, que é 1. Logo, não há continuidade em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo ponto onde x+y\neq0 (i.e.\ sempre que (x,y)\neq(0,0) e x+y\neq0), e é descontinua em (0,0), pois \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=1\neq f(0,0)=2.

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