Determine o lugar geométrico dos pontos que equidistam da origem e da reta horizontal y=-2.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos que têm distância igual da origem e da reta horizontal y=-2.
Conteúdo: definição de parábola como ponto equidistante de um foco e de uma diretriz.

Passo 2

Seja um ponto genérico (x,y).
A distância deste ponto até a origem (0,0) é \sqrt{x^2 + y^2}.
A distância até a reta y=-2 é
\lvert y - (-2)\rvert = \lvert y+2\rvert.

Passo 3

Pelo enunciado, igualamos as distâncias:
\sqrt{x^2 + y^2} = \lvert y+2\rvert.
Como ambos os lados são não negativos, ao elevarmos ao quadrado obtemos
x^2 + y^2 = (y+2)^2 = y^2 + 4y + 4.
Cancelando y^2 dos dois lados resulta
x^2 = 4y + 4 \quad\Longrightarrow\quad 4(y+1)=x^2.

Passo 4

Reescrevendo em função de y, a equação do lugar geométrico é
y = \frac{x^2}{4} - 1.
Isso corresponde a uma parábola com vértice em (0,-1), foco em (0,0) e diretriz y=-2.

Resposta

A equação do lugar geométrico é
y = \frac{x^2}{4} - 1.

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