Determine o lugar geométrico dos pontos que equidistam dos pontos A=(3,1) e B=(1,2).

Passo 1

O enunciado pede o conjunto dos pontos P=(x,y) tais que a distância de P a A=(3,1) seja igual à distância de P a B=(1,2). O conteúdo aqui é locus de pontos equidistantes, que em geometria analítica resulta na mediatriz do segmento AB. Para resolver, vamos usar a fórmula da distância no plano e depois interpretar o resultado como uma reta.

Passo 2

A condição de equidistância é
\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2} \;=\;\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}.
Elevando ambos os lados ao quadrado e simplificando (cancelando x^2 e y^2), obtemos
(x-3)^2+(y-1)^2=(x-1)^2+(y-2)^2
x^2-6x+9 \;+\;y^2-2y+1 \;=\; x^2-2x+1 \;+\;y^2-4y+4
-6x-2y+10 = -2x-4y+5 \;\;\Longrightarrow\;\; -4x+2y+5=0.

Passo 3

A equação -4x+2y+5=0 pode ser escrita como
y=2x-\frac{5}{2},
que é uma reta de coeficiente angular 2. Verificamos que ela passa pelo ponto médio de AB,
M\bigl(2,\tfrac{3}{2}\bigr),
e é perpendicular ao segmento AB (cujo coeficiente angular é -\tfrac12). Logo, essa reta é exatamente a mediatriz de AB.

Resposta

y=2x-\frac{5}{2}

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