Determine o lugar geométrico dos pontos que equidistam da origem e da reta horizontal y=-p, \operatorname{com} p>0.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos (x,y) que satisfazem
\text{distância a }(0,0)\;=\;\text{distância à reta }y=-p,ââà
onde p>0.
Conteúdo: definições de distância ponto–ponto e ponto–reta e identificação de cônicas (parábola).

Passo 2

Seja (x,y) um ponto genérico. A distância até a origem é
\sqrt{x^2+y^2},
e a distância até a reta y=-p (reta horizontal) é
\bigl|y-(-p)\bigr|=\lvert y+p\rvert.
Igualando-as:
\sqrt{x^2+y^2} = \lvert y+p\rvert.

Passo 3

Elevando ao quadrado, obtemos
x^2+y^2 = (y+p)^2 = y^2+2py+p^2.
Cancelando y^2 e rearranjando,
x^2 - 2py - p^2 = 0.
Isolando y,
y = \frac{x^2}{2p} - \frac{p}{2}.

Passo 4

A equação
x^2 - 2py - p^2 = 0
é a de uma parábola cujo foco é (0,0), directriz y=-p e vértice \bigl(0,-\tfrac p2\bigr).

Resposta

O lugar geométrico é a parábola de foco na origem e directriz y=-p, dada pela equação
x^2 - 2py - p^2 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y = \frac{x^2}{2p} - \frac{p}{2}.

Exercícios relacionados