Determine m para que:
(b) x^2+(2 m+3) x+(m^2+3) >= 0, forall x in R

Passo 1

No enunciado, a gente precisa encontrar o valor de m para que a função f(x) = x^2 + (2m+3)x + (m^2+3) seja sempre não negativa. O conteúdo aqui é inequação de segundo grau e vamos usar a condição do discriminante.

Passo 2

Sabendo que para um polinômio quadrático com coeficiente líder positivo ( a>0) a parábola fica voltada para cima, f(x) >= 0 para todo x em R se e somente se o discriminante De for <= 0. Identificamos a = 1, b = 2m+3 e c = m^2+3, e impomos De.

Passo 3

Calculando De: primeiro b^2 = (2m+3)^2 = 4m^2 + 12m + 9. Como c = m^2+3, temos 4ac = 4cdot1cdot(m^2+3) = 4m^2 + 12. Então
De
A condição De vira 12m - 3 <= 0, ou seja m <= tfrac14.

Resposta

m <= tfrac14

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