O fólio de Descartes é a curva de equação x^3+y^3=3axy, em que a neq 0 é uma constante.
Calcule dy/dx como uma função de t e encontre os pontos com reta tangente horizontal ou vertical.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o folio de Descartes, que é uma curva com a equação x^3 + y^3 = 3axy. Aqui, a é uma constante diferente de zero. O que a gente precisa fazer é calcular a derivada dy/dx em função de um parâmetro t e encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal ou vertical. Para isso, vamos precisar de conceitos de derivação implícita e parâmetros em curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva. Uma forma comum de parametrizar o folio de Descartes é usar o parâmetro t para expressar x e y. A parametrização é:
x = 3a t1 + t^3
y = 3a t^21 + t^3
Aqui, t é um número real que varia e nos dá diferentes pontos na curva.

Passo 3

Agora, vamos encontrar dy/dx usando a regra da cadeia. Isso significa que vamos calcular dy/dt e dx/dt e depois dividir os dois:
dydx = dydtdxdt
Vamos calcular dy/dt e dx/dt separadamente.

Passo 4

Calculando dx/dt:
x = 3a t1 + t^3
Aplicando a regra do quociente:
dxdt = 3a (1 + t^3) - 3a t cdot 3t^2(1 + t^3)^2 = 3a (1 + t^3 - 3t^3)(1 + t^3)^2 = 3a (1 - 2t^3)(1 + t^3)^2

Passo 5

Calculando dy/dt:
y = 3a t^21 + t^3
Aplicando a regra do quociente:
dydt = 3a cdot 2t (1 + t^3) - 3a t^2 cdot 3t^2(1 + t^3)^2 = 6a t (1 + t^3) - 9a t^4(1 + t^3)^2 = 6a t + 6a t^4 - 9a t^4(1 + t^3)^2 = 6a t - 3a t^4(1 + t^3)^2

Passo 6

Agora, juntando tudo para encontrar dy/dx:
dydx = dydtdxdt = 6a t - 3a t^43a (1 - 2t^3) = 6t - 3t^43(1 - 2t^3) = 2t - t^41 - 2t^3

Passo 7

Vamos simplificar a expressão de dy/dx:
dydx = 2t - t^41 - 2t^3 = t(2 - t^3)1 - 2t^3

Passo 8

Agora, vamos encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
Reta tangente horizontal ocorre quando dy/dx = 0:
t(2 - t^3)1 - 2t^3 = 0 Rightarrow t(2 - t^3) = 0
Isso acontece quando t = 0 ou 2 - t^3 = 0 Rightarrow t = raiz[3]2.
Reta tangente vertical ocorre quando dy/dx é indefinida, ou seja, o denominador é zero:
1 - 2t^3 = 0 Rightarrow t^3 = 12 Rightarrow t = raiz[3]12 = 1raiz[3]2

Resposta

A derivada dy/dx em função de t é:
dydx = t(2 - t^3)1 - 2t^3
Os pontos com reta tangente horizontal correspondem aos valores de t = 0 e t = raiz[3]2. Já o ponto com reta tangente vertical ocorre quando t = 1raiz[3]2.

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