O fólio de Descartes é a curva de equação
, em que
é uma constante.
Calcule
como uma função de
e encontre os pontos com reta tangente horizontal ou vertical.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o folio de Descartes, que é uma curva com a equação
. Aqui,
é uma constante diferente de zero. O que a gente precisa fazer é calcular a derivada
em função de um parâmetro
e encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal ou vertical. Para isso, vamos precisar de conceitos de derivação implícita e parâmetros em curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva. Uma forma comum de parametrizar o folio de Descartes é usar o parâmetro
para expressar
e
. A parametrização é:
Aqui,
é um número real que varia e nos dá diferentes pontos na curva.
Passo 3
Agora, vamos encontrar
usando a regra da cadeia. Isso significa que vamos calcular
e
e depois dividir os dois:
Vamos calcular
e
separadamente.
Passo 4
Calculando
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Calculando
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Agora, juntando tudo para encontrar
:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão de
:
Passo 8
Agora, vamos encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
Reta tangente horizontal ocorre quando
:
Isso acontece quando
ou
.
Reta tangente vertical ocorre quando
é indefinida, ou seja, o denominador é zero:
Resposta
A derivada
em função de
é:
Os pontos com reta tangente horizontal correspondem aos valores de
e
. Já o ponto com reta tangente vertical ocorre quando
.