Determine m \in \mathbb{R} de modo que a projeção do vetor (2 m, 1) sobre o vetor (m,-1) seja unitária.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os valores de m\in\mathbb{R} tais que a projeção do vetor (2m,1) sobre o vetor (m,-1) tenha norma igual a 1. Vamos aplicar a fórmula da projeção ortogonal em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Seja
u = (2m,1), \quad v = (m,-1).
A projeção de u sobre v é
\mathrm{proj}_v(u) = \frac{u\cdot v}{\|v\|^2}\,v.

Passo 3

Calculemos o produto interno e o quadrado da norma de v:
u\cdot v = 2m\cdot m + 1\cdot(-1) = 2m^2 - 1,
\|v\|^2 = m^2 + (-1)^2 = m^2 + 1.

Passo 4

Denotando
\lambda = \frac{u\cdot v}{\|v\|^2} = \frac{2m^2 - 1}{m^2 + 1},
a projeção é \lambda\,v.

Passo 5

Queremos \|\lambda\,v\| = 1. Como \|v\| = \sqrt{m^2+1}, fica
\|\lambda\,v\| = |\lambda|\,\|v\| = \biggl|\frac{2m^2-1}{m^2+1}\biggr|\sqrt{m^2+1} = 1.
Isto equivale a
\frac{|2m^2-1|}{\sqrt{m^2+1}} = 1.

Passo 6

Elevando ao quadrado,
\frac{(2m^2-1)^2}{m^2+1} = 1 \quad\Longrightarrow\quad (2m^2-1)^2 = m^2+1 \quad\Longrightarrow\quad 4m^4 -4m^2 +1 = m^2 +1
\Longrightarrow\quad 4m^4 -5m^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m^2\,(4m^2-5) = 0
\Longrightarrow\quad m = 0 \quad\text{ou}\quad m^2 = \frac{5}{4} \quad\Longrightarrow\quad m = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}.

Resposta

m = 0,\; \frac{\sqrt{5}}{2},\; -\frac{\sqrt{5}}{2}

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