Determine uma parametrizaรงรฃo para o conjunto dado
(x, y, z) in R^3: x^2+4 y^2=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma parametrização do conjunto de pontos em R^3 que satisfazem x^2+4y^2=1. Isso é um cilindro elíptico (porque não há restrição em z), então vamos usar parametrização de elipse no plano xy mais um parâmetro livre para z.

Passo 2

No plano xy, a equação x^2+4y^2=1 é uma elipse com semi-eixos a=1 na direção de x e b=tfrac12 na direção de y. Lembrando que uma elipse tfracx^2a^2+tfracy^2b^2=1 se parametriza por x=acos t, y=bsin t, usamos aqui
x=cos t, y=tfrac12sin t para tin[0,2pi).

Passo 3

Como a variável z não aparece na equação, ela pode ser qualquer real. Introduzimos um segundo parâmetro sinR tal que z=s. Isso estende a curva elíptica a um cilindro inteiro.

Passo 4

Com isso, uma parametrização do cilindro elíptico é dada por combinar as duas partes:

Resposta

Uma parametrização é
r(t,s)=l(cos t,,tfrac12sin t,,sr), tin[0,2pi),;sinR

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