Determine m, n in R tal que o conjunto dado seja linearmente dependente:
(3,5,1),(2,0,4),(1, m, 3);

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de m (e não há de fato n aparecendo no conjunto) tal que os vetores
v1 = (3,5,1), v2 = (2,0,4), v3 = (1,m,3)
sejam linearmente dependentes em R^3.
Conteúdo: teste de dependência linear por determinante de matriz cujas linhas (ou colunas) são os vetores. O conjunto é dependente exatamente quando esse determinante for zero.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas linhas são v1,v2,v3:
A = 3 & 5 & 1 2 & 0 & 4 1 & m & 3
A condição de dependência linear é
det(A)=0

Passo 3

Calculamos det(A) por regra de Sarrus ou expansão de primeira linha:
det(A) =30 & 4 m & 3 -52 & 4 1 & 3 +12 & 0 1 & m
Agora cada menor:
0 & 4 m & 3 = 0cdot3 - 4m = -4m,
2 & 4 1 & 3 = 2cdot3 - 4cdot1 = 6 - 4 = 2,
2 & 0 1 & m = 2cdot m - 0cdot1 = 2m

Passo 4

Substituindo na expressão de det(A):
det(A) = 3(-4m) - 5(2) + 1cdot(2m) = -12m - 10 + 2m = -10m - 10
Para dependência linear exigimos det(A)=0, ou seja
-10m - 10 = 0

Passo 5

Resolvendo para m:
-10m = 10 Longrightarrow m = -1

Resposta

m = -1.

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