Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
g(x, y)=sen^-1(x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede o maior conjunto de R^2 em que a função
g(x,y)=sen^-1l(x^2+y^2r)
é contínua. Aqui vamos usar que (i) a composição de funções contínuas é contínua e (ii) sen^-1 (arcsen) é contínua em seu domínio [-1,1].

Passo 2

Recordando: sen^-1colon[-1,1]to[-tfracpi2,tfracpi2] é contínua em todo o intervalo [-1,1]. A função (x,y)mapsto x^2+y^2 é contínua em R^2. Logo, g será contínua em todo o conjunto onde o argumento x^2+y^2 pertence a [-1,1].

Passo 3

Como para todo (x,y) vale x^2+y^2>=0, a condição
x^2+y^2in[-1,1]
se reduz a
0<= x^2+y^2<=1
Portanto, o domínio em que g está bem definida e contínua é o disco de raio 1.

Resposta

(x,y)in R^2mid x^2+y^2<=1

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