Se -4<x<-1 e 1<y<2, então x y e x2 estão no intervalo:
a) ]-8,-1[
b) ]-2,-12[
c) ]-2,-1[
d) ]-8,-12[
e) ]-1,-12[

Passo 1

O enunciado dá as desigualdades
-4 < x < -1 e 1 < y < 2
e pede um único intervalo aberto que contenha tanto o produto x,y quanto o quociente tfracx2. Vamos usar análise de extremos em retângulo e propriedades de funções lineares e bilineares para encontrar as faixas de valores de cada expressão e depois determinar o menor intervalo que contenha ambas.

Passo 2

Analisando o produto x,y:
– Como x<0 e y>0, o produto é sempre negativo.
– Em um retângulo fechado, funções contínuas atingem extremos nos vértices. Aqui o “retângulo” aberto gera a faixa mas sem incluir as bordas. Calculamos nos quatro vértices imaginários:
(-4,1)mapsto -4,, (-4,2)mapsto -8,, (-1,1)mapsto -1,, (-1,2)mapsto -2
Desses valores, o mínimo é -8 e o máximo é -1. Como as desigualdades são estritas,
x,yinl(-8,-1r)

Passo 3

Analisando tfracx2:
É uma função linear de x. Basta dividir o intervalo de x por 2:
xin(-4,-1)Longrightarrowx2inl(-2,-tfrac12r)

Passo 4

Agora buscamos um único intervalo aberto que contenha simultaneamente
x,yin(-8,-1) e x2inl(-2,-tfrac12r)
O menor intervalo aberto que engloba ambos é aquele que vai do menor extremo -8 até o maior extremo -tfrac12; isto é,
(-8,-tfrac12)

Resposta

d) ,]-8,-tfrac12[

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