Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
I(x, y)=ln (2 x+4 y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o maior conjunto onde a função I(x, y) = ln (2x + 4y) é contínua. Isso tá ligado ao estudo de funções contínuas, que é um tópico de cálculo. Pra resolver isso, vamos precisar entender quando a função logarítmica está definida e contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função logarítmica natural, ln(u) , só existe quando o argumento u é maior que zero. Ou seja, para ln(u) ser válida, u > 0 .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função I(x, y) = ln (2x + 4y) , o que está dentro do logaritmo precisa ser maior que zero:
2x + 4y > 0

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa desigualdade pra entender melhor as condições sobre x e y :
2x + 4y > 0
Podemos dividir todos os termos por 2:
x + 2y > 0
Ou, isolando y :
y > -12x

Passo 5

Essa desigualdade nos mostra que, para qualquer par (x, y) que satisfaça y > -12x , a função I(x, y) será contínua. Geometricamente, isso representa a região acima da reta y = -12x no plano xy .

Resposta

O maior conjunto onde a função I(x, y) = ln (2x + 4y) é contínua é todo par (x, y) que satisfaz:
2x + 4y > 0
ou equivalentemente:
y > -12x

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