Resolva as seguintes questões envolvendo limites:
lim x 0 x ln (1+x) cos (1x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto0xln(1+x)cos!l(tfrac1xr)
Este é um problema de limites envolvendo produto de funções, e vamos usar o Teorema do Confronto (ou “Squeeze Theorem”) junto com uma expansão de ln(1+x) para mostrar que o limite vale zero.

Passo 2

Sabemos que
-1<= cos!l(tfrac1xr)<= 1
Multiplicando por xln(1+x) e usando valor absoluto, obtemos
l|xln(1+x)cos!l(tfrac1xr)r|<= l|xln(1+x)r|

Passo 3

Para avaliar limxto0xln(1+x), usamos a expansão em série de Taylor de ln(1+x) em torno de x=0:
ln(1+x)=x-tfracx^22+o(x^2)
Multiplicando por x
xln(1+x)=x^2-tfracx^32+o(x^3)longrightarrow0quando xto0

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como
l|xln(1+x)cos!l(tfrac1xr)r|<= l|xln(1+x)r|longrightarrow0,
segue que
limxto0xln(1+x)cos!l(tfrac1xr)=0

Resposta

0

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