(2,0) Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
T(x, y)= \begin{cases}\frac{x y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado define
T(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\,y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[1em] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
e pede o maior conjunto em que T é contínua.
O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis, em pontos internos do domínio (onde a expressão vale) e no ponto especial (0,0). Para resolver, usaremos:
1. composição de funções contínuas onde o denominador é não nulo;
2. definição de limite em (0,0) via desigualdades (ou coordenadas polares).]

Passo 2

Se (x,y)\neq(0,0), então x^{2}+y^{2}>0 e a função
\;(x,y)\mapsto x\,y^{2}
é contínua, o denominador \;(x,y)\mapsto \sqrt{x^{2}+y^{2}} é contínuo e nunca zero, logo o quociente
(x,y)\mapsto \frac{x\,y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
é contínuo em todo \R^2\setminus\{(0,0)\}.

Passo 3

Falta checar continuidade em (0,0). Pela definição, precisamos ver se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =0.
Usando a desigualdade
\lvert x\rvert\le \sqrt{x^{2}+y^{2}} e \lvert y\rvert\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}, temos
\biggl\lvert \frac{x\,y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\biggr\rvert =\frac{|x|\,|y|^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \le \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =(\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}.
Como \sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0 faz (\sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}\to0, concluímos que o limite é zero, igual a T(0,0). Portanto T é contínua em (0,0).

Passo 4

Juntando os dois resultados:
  • T é contínua em \R^2\setminus\{(0,0)\} por ser quociente de funções contínuas com denominador não nulo.
  • T é contínua em (0,0) pois o limite coincide com o valor da função.
Portanto T é contínua em todo \R^2.

Resposta

O maior conjunto de continuidade de T é \R^2.

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