Proposição 2.6: Se grupo
age em conjunto
, então
age em conjunto
.
Passo 1
O enunciado afirma que, se um grupo
tem uma ação em um conjunto
, então podemos “puxar” essa ação para o conjunto das partes de
, denotado por
.
Conteúdo: definição de ação de grupos e verificação das duas propriedades (identidade e compatibilidade).
Conteúdo: definição de ação de grupos e verificação das duas propriedades (identidade e compatibilidade).
Passo 2
Definimos para cada
e cada subconjunto
a imagem de
por
como
Em outras palavras, agimos em cada elemento de
e reunimos os resultados.
Passo 3
Verificamos a ação do elemento neutro
. Como na ação original temos
para todo
, segue
Logo, a identidade de
age como identidade em
.
Passo 4
Agora checamos a compatibilidade com o produto em
. Para quaisquer
e
,
Isso mostra que
.
Passo 5
Como as duas condições (ação do neutro e compatibilidade) estão satisfeitas, concluímos que definimos de fato uma ação de
em
.
Resposta
Para cada
e
, a ação em
é