Proposição 2.6: Se grupo G age em conjunto X, então G age em conjunto 2^{X}.

Passo 1

O enunciado afirma que, se um grupo G tem uma ação em um conjunto X, então podemos “puxar” essa ação para o conjunto das partes de X, denotado por 2^X.
Conteúdo: definição de ação de grupos e verificação das duas propriedades (identidade e compatibilidade).

Passo 2

Definimos para cada g\in G e cada subconjunto A\subseteq X a imagem de A por g como
g\cdot A \;=\;\{\,g\cdot a \mid a\in A\}\subseteq X.
Em outras palavras, agimos em cada elemento de A e reunimos os resultados.

Passo 3

Verificamos a ação do elemento neutro e\in G. Como na ação original temos e\cdot x = x para todo x\in X, segue
e\cdot A =\{\,e\cdot a\mid a\in A\} =\{\,a\mid a\in A\} =A.
Logo, a identidade de G age como identidade em 2^X.

Passo 4

Agora checamos a compatibilidade com o produto em G. Para quaisquer g,h\in G e A\subseteq X,
(gh)\cdot A =\{\, (gh)\cdot a\mid a\in A\} =\{\, g\cdot(h\cdot a)\mid a\in A\} =g\cdot\{\,h\cdot a\mid a\in A\} =g\cdot(h\cdot A).
Isso mostra que (gh)\cdot A = g\cdot\bigl(h\cdot A\bigr).

Passo 5

Como as duas condições (ação do neutro e compatibilidade) estão satisfeitas, concluímos que definimos de fato uma ação de G em 2^X.

Resposta

Para cada g\in G e A\subseteq X, a ação em 2^X é
g\cdot A \;=\;\{\,g\cdot a \mid a\in A\}.

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