( 2,5 pontos) Utilizando o teorema de Gauss, calcule o fluxo \iint \vec{F} \cdot d S do campo \vec{F}(x, y, z)= \left(x y+e^{-y^{2}}\right) \vec{i}+\left(\frac{y^{2}}{2}+\cos \left(x z\right)\right) \vec{j}+z^{2} \vec{k}, através da superfície que delimita o sólido limitado pelo parabolóide z=1-x^{2} e pelos planos z=0, y=0 e y=1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
\vec{F}(x,y,z)=(xy+e^{-y^2})\,\vec{i}+\bigl(\tfrac{y^2}{2}+\cos(xz)\bigr)\,\vec{j}+z^2\,\vec{k}
através da superfície fechada que delimita o sólido
E=\{(x,y,z)\mid 0\le y\le1,\;-1\le x\le1,\;0\le z\le1-x^2\}.
Vamos usar o Teorema de Gauss, que afirma
\iint_{\partial E}\vec F\cdot d\vec S =\iiint_{E}\nabla\!\cdot\!\vec F\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec F:
\nabla\!\cdot\!\vec F =\frac{\partial}{\partial x}(xy+e^{-y^2}) +\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{y^2}{2}+\cos(xz)\Bigr) +\frac{\partial}{\partial z}(z^2) =y + y + 2z =2y+2z.

Passo 3

Pelo Teorema de Gauss,
\iint_{\partial E}\vec F\cdot d\vec S =\iiint_{E}(2y+2z)\,dV =2\iiint_{E}(y+z)\,dV.
Nosso volume E tem
0\le y\le1,\quad -1\le x\le1,\quad 0\le z\le1-x^2.

Passo 4

Calculamos
\iiint_{E}y\,dV =\int_{y=0}^{1}\int_{x=-1}^{1}\int_{z=0}^{1-x^2}y\,dz\,dx\,dy =\int_{0}^{1}y\Bigl[\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx\Bigr]dy.
Como
\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx=2\int_{0}^{1}(1-x^2)\,dx=2\Bigl[1-\tfrac13\Bigr]=\tfrac{4}{3},
segue
\iiint_{E}y\,dV =\tfrac{4}{3}\int_{0}^{1}y\,dy =\tfrac{4}{3}\cdot\tfrac12 =\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Calculamos
\iiint_{E}z\,dV =\int_{y=0}^{1}\int_{x=-1}^{1}\int_{z=0}^{1-x^2}z\,dz\,dx\,dy =\int_{0}^{1}\Bigl[\int_{-1}^{1}\tfrac{(1-x^2)^2}{2}\,dx\Bigr]dy.
Expandindo e integrando em x:
\int_{-1}^{1}(1-x^2)^2\,dx =\int_{-1}^{1}(1-2x^2+x^4)\,dx =2-\tfrac{4}{3}+\tfrac{2}{5} =\tfrac{16}{15}.
Logo
\iiint_{E}z\,dV =\int_{0}^{1}\tfrac12\cdot\tfrac{16}{15}\,dy =\tfrac{8}{15}.

Passo 6

Somando os dois resultados,
\iiint_{E}(y+z)\,dV =\tfrac{2}{3}+\tfrac{8}{15} =\tfrac{10}{15}+\tfrac{8}{15} =\tfrac{18}{15} =\tfrac{6}{5}.
Portanto o fluxo é
2\cdot\tfrac{6}{5} =\tfrac{12}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{12}{5}

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