Proposição 2.7: Sejam G um grupo, H \triangleleft G, p um número primo. Se |G|<\infty e p||G / H|, então \exists \widetilde{H} t. q. G \geq \widetilde{H} \geq H e |\widetilde{H}|=p \cdot|H|.

Passo 1

O enunciado diz que temos um grupo finito G, um subgrupo normal H\triangleleft G e um primo p tais que p\mid |G/H|. Precisamos achar um subgrupo \widetilde{H} de G com
G \ge \widetilde{H} \ge H \quad\text{e}\quad |\widetilde{H}| = p\cdot |H|.
Para isso, vamos usar o Teorema de Cauchy (que dá elemento de ordem p em grupo finito cujo tamanho é múltiplo de p) e as propriedades da projeção canônica \pi\colon G\to G/H.

Passo 2

Como G/H é finito e p\mid|G/H|, o Teorema de Cauchy garante que existe um elemento de ordem p em G/H. Ou seja, existe algum xH\in G/H tal que
\mathrm{ord}(xH)=p.

Passo 3

Definimos
U \;=\; \langle xH\rangle
como o subgrupo de G/H gerado por xH. Como \mathrm{ord}(xH)=p, segue que |U|=p. Logo U\le G/H e |U|=p.

Passo 4

Considere a projeção canônica
\pi\colon G\;\to\;G/H, \quad \pi(g)=gH.
Então a pré-imagem de U em G é
\widetilde{H} \;=\;\pi^{-1}(U) =\{\,g\in G\mid gH\in U\}.
Como pré-imagem de subgrupo por homomorfismo, \widetilde{H} é subgrupo de G, e além disso
H=\ker\pi\;\subseteq\;\widetilde{H}\;\subseteq\;G.

Passo 5

Para achar |\widetilde{H}| usamos a fórmula geral
|\pi^{-1}(U)| \;=\;|U|\;\cdot\;|\ker\pi|.
Aqui |U|=p e \ker\pi=H, logo
|\widetilde{H}| \;=\;p\;\cdot\;|H|.

Resposta

Tomando \displaystyle \widetilde{H}=\pi^{-1}\bigl(\langle xH\rangle\bigr), obtemos um subgrupo H\subseteq\widetilde{H}\subseteq G com \bigl|\widetilde{H}\bigr|=p\,|H|, como queríamos.

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