Proposição 2.7: Sejam
um grupo,
um número primo. Se
e
, então
t. q.
e
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um grupo finito
, um subgrupo normal
e um primo
tais que
. Precisamos achar um subgrupo
de
com
Para isso, vamos usar o Teorema de Cauchy (que dá elemento de ordem
em grupo finito cujo tamanho é múltiplo de
) e as propriedades da projeção canônica
.
Passo 2
Como
é finito e
, o Teorema de Cauchy garante que existe um elemento de ordem
em
. Ou seja, existe algum
tal que
Passo 3
Definimos
como o subgrupo de
gerado por
. Como
, segue que
. Logo
e
.
Passo 4
Considere a projeção canônica
Então a pré-imagem de
em
é
Como pré-imagem de subgrupo por homomorfismo,
é subgrupo de
, e além disso
Passo 5
Para achar
usamos a fórmula geral
Aqui
e
, logo
Resposta
Tomando
, obtemos um subgrupo
com
, como queríamos.