Determine o maior conjunto onde a função é contínua.
f(x, y)=ccc2 x^2-y^22 x^2+y^2 & , (x, y) neq(0,0) 0 & , & caso contrário á

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= 2x^2-y^22x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede o maior conjunto onde ela é contínua. O conteúdo envolvido é continuidade de função de duas variáveis: precisamos ver onde o quociente de polinômios é bem definido e depois checar o ponto especial (0,0).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) temos
2x^2+y^2>0,
logo o termo tfrac2x^2-y^22x^2+y^2 é um quociente de polinômios com denominador não nulo. Portanto f é contínua em todo ponto (x,y) tal que (x,y)neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0) a função está definida como f(0,0)=0. Para testar continuidade, calculamos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
Se esse limite existisse e fosse igual a 0, f seria contínua em (0,0). Mas, ao aproximar por retas y=kx, temos
limxto 0f(x,kx) = limxto 02x^2-k^2x^22x^2+k^2x^2 = 2-k^22+k^2,
que depende de k. Como esse valor varia com a inclinação k, o limite não é único e portanto não existe.

Passo 4

Como o limite em (0,0) não existe, a função não é contínua nesse ponto.

Resposta

O maior conjunto de continuidade de f é
R^2setminus(0,0)

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