Dizemos que uma função T: R^n R^m é uma transformação linear se
T(x+y) & =T(x)+T(y) T(alpha x) & =alpha T(x)
em que x in R^n, y in R^n e alpha in R. Usando a definição de limite, mostre que uma transformação linear é contínua em qualquer ponto a in R^n.
Dica: Você deve usar o seguinte fato:
|T(x)| & =|T(x1 e1+cdots+xn en)| & =|T(x1 e1)+cdots+T(xn en)| & <=|x1 T(e1)|+cdots|xn T(en)| & =|x1||T(e1)|+cdots+|xn||T(en)| & <=(|x1|+cdots+|xn|) M & <= n max |x1|, ldots,|xn| M & <= n|x| M,
em que M=max |T(e1)|, ldots|T(en)|.

Passo 1

E aí, vamos resumir rapidinho o que a questão pede e o que a gente vai usar.
Enunciado: temos uma transformação linear
T:R^ntoR^m
que satisfaz
T(x+y)=T(x)+T(y), T(alpha x)=alpha,T(x)
Precisamos mostrar, usando a definição de limite, que para todo ponto ainR^n vale
limxto aT(x)=T(a),
ou seja, que T é contínua em qualquer a.
Conteúdo: teoria de limites e continuidade para funções de R^n em R^m, e propriedades de transformações lineares.
O que vamos precisar:
  1. Definição de continuidade: dado varepsilon>0, existe de<a>0 tal que lvert x-arvert<de<a implica lvert T(x)-T(a)rvert<varepsilon.
  2. A desigualdade do enunciado que diz que existe
M=maxllvert T(e1)rvert,dots,lvert T(en)rvertr
tal que
lvert T(x)rvert<= n,M,lvert xrvert

Passo 2

Primeiro, pelo que aprendemos de linearidade, a diferença T(x)-T(a) se simplifica assim:
T(x)-T(a)=Tl(x-ar)
Isso é só usar T(x)=Tl((x-a)+ar)=T(x-a)+T(a), daí isolar T(x-a).

Passo 3

Agora aplicamos a desigualdade fornecida com o vetor x-a no lugar de x:
lvert T(x)-T(a)rvert =lvert T(x-a)rvert <= n,M,lvert x-arvert

Passo 4

Para mostrar continuidade, a gente pede: dado varepsilon>0, que n,M,lvert x-arvert<varepsilon.
  • Se M=0, significa que T(ei)=0 para todo i, então Tequiv0 e lvert T(x)-T(a)rvert=0<varepsilon para qualquer de<a. Tranquilo.
  • Se M>0, basta escolher
de<a=varepsilonn,M
Assim, sempre que lvert x-arvert<de<a teremos
lvert T(x)-T(a)rvert<= n,M,lvert x-arvert < n,M,varepsilonn,M =varepsilon
Isso é exatamente o que a definição de limite/continuidade pede.

Resposta

Logo, para qualquer ponto ainR^n a transformação linear T satisfaz limxto aT(x)=T(a). Ou seja, toda transformação linear é contínua em qualquer ponto.

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