Dizemos que uma função
é uma transformação linear se
em que
e
. Usando a definição de limite, mostre que uma transformação linear é contínua em qualquer ponto
.
Dica: Você deve usar o seguinte fato:
em que
.
Dica: Você deve usar o seguinte fato:
Passo 1
E aí, vamos resumir rapidinho o que a questão pede e o que a gente vai usar.
Enunciado: temos uma transformação linear
Enunciado: temos uma transformação linear
que satisfaz
Precisamos mostrar, usando a definição de limite, que para todo ponto
vale
ou seja, que
é contínua em qualquer
.
Conteúdo: teoria de limites e continuidade para funções de em
, e propriedades de transformações lineares.
O que vamos precisar:
Conteúdo: teoria de limites e continuidade para funções de
O que vamos precisar:
- Definição de continuidade: dado
, existe tal que implica . - A desigualdade do enunciado que diz que existe
tal que
Passo 2
Primeiro, pelo que aprendemos de linearidade, a diferença
se simplifica assim:
Isso é só usar
, daí isolar
.
Passo 3
Agora aplicamos a desigualdade fornecida com o vetor
no lugar de
:
Passo 4
Para mostrar continuidade, a gente pede: dado
, que
.
- Se
, significa que para todo , então e para qualquer . Tranquilo. - Se
, basta escolher
Assim, sempre que
teremos
Isso é exatamente o que a definição de limite/continuidade pede.
Resposta
Logo, para qualquer ponto
a transformação linear
satisfaz
. Ou seja, toda transformação linear é contínua em qualquer ponto.