Resolva as equações diferenciais:
(x{2}+y{2}+2 x) d x+2 x y d y=0
(x{2}+y{2}+2 x) d x+2 x y d y=0
Passo 1
Temos a equação diferencial
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas. Vamos verificar a exatidão definindo
e depois buscar a função potencial
tal que
Passo 2
Para a exatidão precisamos conferir se
Calculando,
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Agora integramos
em relação a
para obter
:
onde
é uma função desconhecida de
.
Passo 4
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
que deve ser igual a
. Logo,
e portanto
.
Passo 5
Assim a função potencial é
e a solução geral implícita da equação diferencial é