Resolva as equações diferenciais:
(x{2}+y{2}+2 x) d x+2 x y d y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial
(x^2+y^2+2x),dx+2xy,dy=0
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas. Vamos verificar a exatidão definindo
M(x,y)=x^2+y^2+2x,
N(x,y)=2xy,
e depois buscar a função potencial psi(x,y) tal que
dpsi=M,dx+N,dy

Passo 2

Para a exatidão precisamos conferir se
partial Mpartial y=partial Npartial x
Calculando,
partial Mpartial y=2y,
partial Npartial x=2y
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Agora integramos M em relação a x para obter psi(x,y):
psi(x,y)=integral(x^2+y^2+2x),dx=x^33+xy^2+x^2+h(y),
onde h(y) é uma função desconhecida de y.

Passo 4

Para determinar h(y), derivamos psi em relação a y e igualamos a N(x,y):
partialpsipartial y=2xy+h'(y)
que deve ser igual a N(x,y)=2xy. Logo,
h'(y)=0
e portanto h(y)=constante.

Passo 5

Assim a função potencial é
psi(x,y)=x^33+xy^2+x^2
e a solução geral implícita da equação diferencial é
psi(x,y)=C

Resposta

x^33+x y^2+x^2=C

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