Encontre ao longo volume dos sólidos obtidos pela rotação das regiões ao longo do eixo-y:
x=raiz1+y, x=0, y=3.

Passo 1

A região D é dada por x=√(1+y), x=0 e y=3. Vamos gerar o volume do sólido obtido ao rotacionar D em torno do eixo-y. Esse tipo de problema pode ser resolvido pelo método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Invertendo x=√(1+y) obtemos y=x²−1. Para encontrar os limites em x, resolvemos x²−1=3, o que dá x=2. Então x varia de 0 a 2 e em cada x a região vai de y_inf=x²−1 até y_sup=3.

Passo 3

Pelo método das cascas, cada casca a uma distância x do eixo-y tem altura y_sup−y_inf=3−(x²−1)=4−x². O volume de uma casca de espessura dx é dV=2π·x·(4−x²)dx. Portanto,
V=2piintegral0^2x,(4-x^2),dx

Passo 4

Calculando a integral:
integral0^2(4x - x^3),dx=[2x^2-x^44]0^2=2cdot4-164=8-4=4
Logo V=2π·4.

Passo 5

Multiplicando pelo fator 2π temos
V=2pitimes4=8pi

Resposta

8\pi

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